江苏省如皋中学2019-2020学年度高三第二学期期初调研考试数学试题含含答案

数学Ⅱ（附加题）

21． (本小题满分10分)

?1x??1?已知x?R，向量????是矩阵A??的属于特征值?的一个特征向量，求A?1． ??02??1?

ur

22． (本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．直线l的参数方?2t，?x?1?π?2θ＋?，程为? (t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ＝22sin? 4?求直线l被曲线C所截的弦长．?

?y?2t??2

高三数学 第 6 页 共 19 页

23． (本小题满分10分)

uuur2uuur如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，AD?AB，BC1与B1C交于点

5E．

（1）求异面直线AC1与DB1所成角的余弦值；

（2）求二面角A?DE?A1的余弦值．

24． (本小题满分10分)

若排列a1,a2,L,an中存在ai使得ai?1?ai?ai?1（i?2,L,n?1），则称ai为排列a1,a2,L,an的一个“极小值”，例如：排列2，1，4，3，5中有两个极小值1和3．记正整数1,2,L,n的所有排列中有且仅有一个“极小值”的排列的个数为f(n)(n?3,n?N*)．

（1）求f(3)，f(4)；

（2）求f(n)．

高三数学 第 7 页 共 19 页

江苏省如皋中学2019～2020学年度高三年级第二学期期初调研测试

数 学Ⅰ试题参考答案

1. 1 2. ?1 3. 50 4.

231 5. 5 6.

337. 2 8.

26?1 9. 610 10. 1 6811. ? 12.

15??13?1??22 13. ?3 14. ????,6?U?2,????

???????1?cos??x??2??cos2x

15. 解：⑴f?x??4sinx2?2sinx?1?sinx??1?2sin2x?2sinx?1 …………………………5分

所以函数y?f?x?的最小正周期为2? …………………………………7分

⑵g(x)?f(2x????????)?2sin?2x???1,x??0,?…………………………8分 66???2?

因为x??0,???5?????2x????,?， ， 所以?6?66??2????1?所以sin?2x???????,1? …………………………………………………11分 6??2?所以函数y?g?x?的值域为?0,3? ……………………………………………14分

高三数学 第 8 页 共 19 页

16.证明：⑴取PA的中点G，连接GD,GE.在?PAB中，因为E,G分别为PB,PA中点，

所以GE//AB且GE?1AB…………………………………………………2分 2因为底面ABCD为平行四边形，所以DC//AB，

F为DC的中点，所以DF?1AB…………………………………………4分 2所以GE//DF且GE?DF，所以四边形GEFD为平行四边形, 所以GD//EF 因为EF?平面PAD，GD?平面PAD，

所以EF// 平面PAD …………………………………………………………7分

⑵取AD的中点H,连接PH.

因为侧面PAD为正三角形，所以PH?AD…………………………………9分 因为平面PAD?平面ABCD，PH?平面PAD，

平面PADI平面ABCD?AD, 所以PH?平面ABCD ………………11分 因为AB?平面ABCD，所以PH?AB， 因为?PAB?90，所以AB?AP,因为PHI0PA?P，PA,PH?平面PAD，

所以AB?平面PAD ………………………………………………………13分 因为AB?平面PAB，所以平面PAD?平面PAB ………………………14分

17.解：⑴因为k1?1,k2??1，

所以直线l1,l2方程分别为x?y?1?0,x?y?3?0

?x2y2?1??2由?8 得：5x?8x?4?0， 2?y?x?1?由此解得x?27?27?， 所以y?， 所以A?,?……………………………2分

55?55?高三数学 第 9 页 共 19 页

?141?同理可得：B??,?? …………………………………………………………4分

?55?所以直线AB的方程为5x?10y?12?0

所以S?PAB11248?214??71?…………………6分??????????? 222555525????5?1022⑵设AB的中点为H点

①当直线AB过原点时，点H与点O重合.因为PA?PB， 所以PO?AB，

所以直线AB的方程为2x?y?0………………………………………………8分

②当直线AB不过原点时. 设H?x0,y0?

在VOAB中，因为OA?OB， 所以OH?AB，

在VPAB中，因为PA?PB， 所以PH?AB， 所以点P,H,O三点共线， 因为直线OP的斜率为

1，所以直线AB的斜率为?2 ……………………10分 2设直线AB的方程为y??2x?m?m?0?，

?x2y2?18mm??由?8 得：17x2?16mx?4m2?8?0，所以x0?，y0? 21717?y??2x?m?1所以直线OH斜率为，所以直线OP的斜率与直线OH斜率不相等，

8点P,H,O三点不共线（与上面的结论矛盾）.

综上：所求直线AB的方程为2x?y?0 ……………………………………14分

18. 解：⑴过点O分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为E，F

因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，

高三数学 第 10 页 共 19 页