2020年中考数学压轴题：二次函数的综合性问题考点专练

2020 中考数学压轴题：二次函数的综合性问题考点专练

【典例分析】

【考点 1】二次函数与经济利润问题

【例 1】（2019·山东中考真题）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了 1000 千克，每千克的平均批发价比去年降低了 1 元，批发销售总额比去年增加了 20% ．

（1） 已知去年这种水果批发销售总额为 10 万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？

（2） 某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为 41 元，则每天可售出 300 千克；若每千克的平均销售价每降低 3 元，每天可多卖出 180 千克，设水果店一天的利润为 w 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．）

【答案】（1）这种水果今年每千克的平均批发价是 24 元；（2）每千克的平均销售价为 35 元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是 7260 元. 【解析】 【分析】

(1)由去年这种水果批发销售总额为 10 万元，可得今年的批发销售总额为

10120万

x1

元，设这种水果今年每千克的平均批发价是 x 元，则去年的批发价为程： 120000 x

100000 x 1

1000 ，求得 x 即可.

元，可列出方

(2)根据总利润＝(售价﹣成本)×数量列出方程，根据二次函数的单调性即可求最大值． 【详解】

(1)由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是 x 元，则去年的批发价为今年的批发销售总额为10

x1

元，

120%

12万元， ，

整理得 x2

19x120 0 ，

解得 x 24 或 x 5(不合题意，舍去).

故这种水果今年每千克的平均批发价是 24 元．

(2)设每千克的平均售价为 m 元，依题意由(1)知平均批发价为 24 元，则有

w m 2

4

41

3

m

18030

0

60m2

4200m66240 ，

整理得 w 60∵ a

600 ，

m 35

2

7260，

∴抛物线开口向下，

∴当 m35 元时， w 取最大值，

即每千克的平均销售价为 35 元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是 7260 元 【点睛】

本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，根据每天的利润=一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

【变式 1-1】（2019·浙江中考真题）某农作物的生长率 P 与温度 t(℃)有如下关系：如图 1，当 10≤t≤25 时可近似用函数 P P

刻画．

t 刻画；当 25≤t≤37 时可近似用函数

(1)求 h 的值．

(2)按照经验，该作物提前上市的天数 m(天)与生长率 P 满足函数关系： 生长率 P 提前上市的天数 m （天） 0.2 0 0.25 5 0.3 10 0.35 15 ①请运用已学的知识，求 m 关于 P 的函数表达式； ②请用含t 的代数式表示 m ；

(3)天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在(2)的条件下，原计划大棚恒温 20℃时，每天的成本为 200 元，该作物 30 天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加 600 元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本 w (元)与大棚温度 t(℃) 之间的关系如图 2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．

【答案】（1）h 29 ；（2）① m 100p 20 ，② m (t 29)2

20 ；（3）当t 29

时，提前上市 20 天，增加利润的最大值为 15000 元. 【解析】 【分析】 （1） 根据 P

t 求出 t=25 时 P 的值，代入 P

(t

h)2

0.4 即可；

（2） ①由表格可知 m 与 p 的一次函数，用待定系数法求解即可；②分当10 t 25 时与当 25 1 37 时两种情况求解即可； （3）分当 20 t 25 时与当 25 【详解】

（1） 把 t=25 代入 P

0.4 得 h

?h

25，h

t

，得 P=0.3，把（25，0.3）的坐标代入 p

(t

h)2

t 37 时两种情况求出增加的利润，然后比较即可.

29 或 h 29.

21

（2） ①由表格可知 m 与 p 的一次函数，设 m=kp+b，由题意得 0.2k b

0

5 ，

0.25k b 解之得 k b m

100

20 ， 100p

20 ；

②当10 t 25 时， p

1 50t 1 5 ，

m 100

1 50t

1

5 20 2t 40 当 25 1 37 时， p (t 29)2

0.4 .

m 100[ (t 29)2 0.4 ] 20 (t 29)2 20 ；

（3） （Ⅰ）当 20 t 25 时， 由(20,200) ，(25,300) ，得 w 增加利润为600m[200当t

30 20t

200 .

40t2

600t

4000 .

w(30m)]

25时，增加利润的最大值为 6000 元.

t

37 时， w

300.

（Ⅱ）当 25

增加利润为600m [20030 w(30 m)]=9001125

2(t 29)2 15000 ， 当t

85

(t 29)2 15000

29时，增加利润的最大值为 15000 元. 综上所述，当t 29

时，提前上市 20 天，增加利润的最大值为 15000 元. 【点睛】

本题考查了一次函数与二次函数的应用，用到的知识点有二次函数图上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图像与性质，利用二次函数求最值及分类讨论的数学思想.

熟练掌握二次函数图上点的坐标特征是解（1）的关键，分类讨论是解（2）与（3）的关键.