【变式 1-2】（2019·辽宁中考真题）网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克 10 元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量 y（kg）与销售单价 x（元）满足如图所示的函数关系（其中0
x 30）．
（1） 直接写出 y与 x之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2） 若农贸公司每天销售该特产的利润要达到 3100 元，则销售单价 x应定为多少元？ （3） 设每天销售该特产的利润为 W元，若14
的销售利润最大？最大利润是多少元？
640(10
【答案】（1） y
x 14)
x 30 ，求：销售单价 x为多少元时，每天
（2）销售单价 x应定为 15 元；（3）当 x 20x920(14 x 30) ；
28 时，
每天的销售利润最大，最大利润是 6480 元． 【解析】 【分析】 （1） 当10
x 14 时，可直接根据图象写出；当14
x 30 时，y与 x成一次函数关系，用
待定系数法求解即可；
（2） 根据销售利润=每千克的利润（x－10）×销售量 y，列出方程，解方程即得结果；
（3） 根据销售利润 w=每千克的利润（x－10）×销售量 y，可得 w与 x的二次函数，再根
据二次函数求最值的方法即可求出结果. 【详解】
解：（1）由图象知，当10
x 14 时， y 640 ；
14k
b
640 b
k
20
b
当14 x 30 时，设 y kx b ，将(14,640) ，(30,320) 代入得 30k
320 ，解得
920 ，
∴y与 x之间的函数关系式为 y
640(10
综上所述， y
x 14)
x 30) ； 20x
920 ；
20x920(14 2560 ， 14 ， 3100 ，
（2） (14 10)640 ∵ 2560 3100，∴ x ∴(x
10)(20x
920)
解得： x1
41（不合题意舍去）， x2 15 ，答：销售单
价 x应定为 15 元； （3） 当14 ∵
x 30 时，W
x 30 ，
(x
10)(20x
920)
20(x
28)2 6480 ，
20 0 ，14
∴当 x 28 时，每天的销售利润最大，最大利润是 6480 元．
【点睛】
本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的实际应用，正确理解题意求出函数关系式、熟练掌握一元二次方程的解法和求二次函数的最值的方法是解题的关键.
【考点 2】二次函数与几何图形问题
【例 2】（2018·福建中考真题）空地上有一段长为 a 米的旧墙 MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 ABCD，已知木栏总长为 100 米．
（1） 已知 a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100 米木栏，且围成的矩形菜园面积为 450 平方米．如图 1，求所利用旧墙 AD 的长；
（2） 已知 0＜α＜50，且空地足够大，如图 2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园 ABCD 的面积最大，并求面积的最大值．
【答案】（1）利用旧墙 AD 的长为 10 米．（2）见解析. 【解析】【分析】
（1） 按题意设出 AD，表示 AB 构成方程；
（2） 根据旧墙长度 a 和 AD 长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论 s 与菜园边长之间的
数量关系．【详解】 （1） 设 AD=x 米，则 AB=得，
x
100- x
米依题意
解得 x
∵a=20，且 x≤a ∴x=90 舍去
∴利用旧墙 AD 的长为 10 米．
（2） 设 AD=x 米，矩形 ABCD 的面积为 S 平方米 ①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意得：
x
S=
∵0＜a＜50
＜x＜a
∴x＜a＜50 时，S 随 x 的增大而增大当 x=a 时，S 最大
②如按图 2 方案围成矩形菜园，依题意得
x(100 a
2 4
00
S= 2x)＝
a
[x (25 a)]2 (25 a)2 ，a≤x＜50+ a 1
4 2 当 a＜25+
＜50 时，即 0＜a＜
时，
4
3
200a a2 ，
则
x=25+ a 时，S 最大=（25+ a2=1 ）
4
4
16
1
200a a2
16
＞50a
1
a2 ，此时，按图 2 方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为 2
当 25+
a
≤a，即
时，S 随 x 的增大而减小
，
200a
a2 平方米
4
∴x=a 时，S 最大综合①②，当 0＜a＜10000
16
当
∴当 0＜a＜
时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等． 13 00
时，围成长和宽均为（25+
4 16
200a
a2 平方米；
a
）米的矩形菜园面积最大，最大面积为
10000
当3 （
1
00 a
≤a＜50 时，围成长为 a 米，宽为（50- ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为
2
）平方米．
【点睛】
本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类讨论变量大小关系．
【变式 2-1】（2019·湖南中考真题）如图，已知抛物线经过两点 A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线 x＝﹣1． （1） 求此抛物线的解析式；
（2） 若点 P是抛物线上点 A与点 B之间的动点（不包括点 A，点 B），求△PAB的面积的
最大值，并求出此时点 P的坐标．
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