【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）△PAB的面积的最大标（
，15 ）．
4
值为，此时点 P的坐
【解析】【分析】（1）因为对称轴是直线 x=-1，所以得到点 A（-3，0）的对称点是（1，0），因此利用交点式 y=a（x-x1）（x-x2），求出解析式．
（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】
（1） ∵抛物线对称轴是直线 x＝﹣1 且经过点 A（﹣3，0） 由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）
设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）即：y＝a（x﹣1）（x+3）
把 B（0，3）代入得：3＝﹣3a ∴a＝﹣1
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3． （2） 设直线 AB的解析式为 y＝kx+b， ∵A（﹣3，0），B（0，3），
3k b
∴
0
b 3 ，
∴直线 AB为 y＝x+3，
作 PQ⊥x轴于 Q，交直线 AB于 M， 设 P（x，﹣x2﹣2x+3），则 M（x，x+3）， ∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴S 当 x 32
12 3
15
4，
x2 3x3 23
x
23 32
2 2
287 ， 2
时，S最大 ， y
∴△PAB 的面积的最大值为 【点睛】
，此时点 P 的坐标为（ ， ）.
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，利用面积的和得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．
【变式 2-2】（2018·吉林中考真题）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动．过点 P 作 PD⊥AC 于点 D（点 P 不与点 A、B 重合），作∠DPQ=60°，边 PQ 交射线 DC 于点 Q．设点 P 的运动时间为 t 秒．
（1） 用含 t 的代数式表示线段 DC 的长； （2） 当点 Q 与点 C 重合时，求 t 的值；
（3） 设△PDQ 与△ABC 重叠部分图形的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式； （4） 当线段 PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时，直接写出 t 的值．
【答案 】（ 1 ）CD= 2 3 ﹣ 3 秒．
t（0＜t＜2）；（2）1；（3）见解析；（4）t 的值为 秒或 秒
或
【解析】
【分析】（1）先求出 AC，用三角函数求出 AD，即可得出结论； （2） 利用 AD+DQ=AC，即可得出结论；
（3） 分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论；（4）分三种情况，利用
锐角三角函数，即可得出结论．
【详解】（1）在 Rt△ABC 中，∠A=30°，AB=4， ∴AC=23 ，
∵PD⊥AC，
∴∠ADP=∠CDP=90°，在 Rt△ADP 中，AP=2t，
3 ∴DP=t，AD=APcosA=2t× = 3 t，
2
∴CD=AC﹣AD=2 3 ﹣ 3 t（0＜t＜2）；（2） 在 Rt△PDQ 中，∵∠DPC=60°，∴∠PQD=30°=∠A， ∴PA=PQ， ∵PD⊥AC， ∴AD=DQ， ∵点 Q 和点 C 重合， ∴AD+DQ=AC， ∴2× 3 t=2 3 ， ∴t=1；
（3） 当 0＜t≤1 时，S=S△PDQ=
1
DQ×DP=
2
当 1＜t＜2 时，如图 2，
×3 t×t=3
t2，2
CQ=AQ﹣AC=2AD﹣AC=2 3 t﹣2 3 =2 1），在 Rt△CEQ 中，∠CQE=30°，
3 （t﹣
3
∴CE=CQ?tan∠CQE=23 （t﹣1）×=2（t﹣1），
3
1
∴S=S△PDQ﹣S△ECQ= × 3 t×t﹣×23 （t﹣1）×2（t﹣1）=﹣
3 3 t2+4 3 t﹣2 3 ，
22
3 2 t 0＜ t 1 2
3 3 2
t 4 2 t＜ 2 3t 3 0＜
∴S=
； 2
（4）当 PQ 的垂直平分线过 AB 的中点 F 时，如图 3， ∴∠PGF=90°，PG= PQ= AP=t，AF= AB=2， ∵∠A=∠AQP=30°， ∴∠FPG=60°， ∴∠PFG=30°， ∴PF=2PG=2t， ∴AP+PF=2t+2t=2，
；当 PQ 的垂直平分线过 AC 的中点 M 时，如图 4，
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