2019～2020学年第一学期期中考试高二数学试卷
（时间：120分钟 总分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；并将条形码粘贴在指定区域。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。
3．第Ⅱ卷答案用黑色签字笔填写在试卷指定区域内。
第Ⅰ卷
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，其中1～10小题为单选题，每小题只有一个选项符合题意；11～12为多选题，每小题有两个选项符合题意，选对一个得3分，两个都选对得5分，选错或选错一个得0分。)
1．直线2x?4y?3?0的斜率是（ ）
A．?2
B．?2
1 22
C．
1 2 D．
2．若圆C与圆C′（x＋2）＋（y－1）＝1关于原点对称，则圆C′的方程是（ ）
A．（x＋1）2＋（y－2）2＝1 C．（ x－1）2＋（y+2）2＝1
B．（x-2）2＋（y－1）2＝1
D．（x-2）2＋（y+1）2＝1
3．如图，在三棱锥O?ABC中，点D是棱AC的中点，若OA?a，OB?b，OC?c，则BD等于（ ）
uuurruuurruuurruuurrrrA．a?b?c
rrrC．a?b?c
1rr1rB．a?b?c
221rr1rD．?a?b?c
224．直线y?k?x?1??k?R?是（ ）
A．过点?1,0?的一切直线
B．过点??1,0?的一切直线
D．过点?1,0?且除直线x?1外的一切直线
C．过点?1,0?且除x轴外的一切直线
vvrrrv5．如果存在三个不全为0的实数，，，使得向量xa?yb?zc?0，则关于a，b，c叙述正确的是（ ）
rrrrrr A．a，b，c两两相互垂直 B．a，b，c中只有两个向量互相垂直
rrrrrr C．a，b，c 共面 D．a，b，c中有两个向量互相平行
rA2,?1,2n6．已知点? ?在平面内，??3,1,2?是平面的一个法向量，则下列点P中，在平面内的是（ ）
A．P?1,?1,1?
B．P?1,3,??3?? 2?
C．P?1,?3,??3?? 2?
D．P??1,3,???3?? 2?7．若直线y?2x与直线a?ax?y?a?1?0平行，则a?（ ）
A．a??1 C．a??1或2
B．a?2
?2?D．a?1或?2
x2y28．设A,B是椭圆C:??1长轴的两个端点，若C上存在点满足?APB?120o，则k的取值范围是
4k（ ）
A．(0,]?[12,??) C．(0,]?[12,??)
4323
B．(0,]?[6,??) D．(0,]?[6,??)
2343
9．如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱AB，A1D1的中点分别为，，则直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值为（ ）
A．5 5 B．30 625 5 C．6 6 D．10．已知椭圆的左焦点为F1，有一质点A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆内壁反射（无论经过几次反射速率始终保持不变），若质点第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e为（ ）
A．
2 3 B．
3 4 C．
3 5 D．
5 7x2y211．（多选题）若方程??1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是（ ）
3?tt?1
A．若C为椭圆,则1?t?3
B．若C为双曲线,则t?3或t?1
C．曲线C可能是圆
D．若C为椭圆，且长轴在轴上，则1?t?2
2212．（多选题）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x?y?4x?0.若直线y?k?x?1?上存在一
点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是（ ）
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
A．
B．
C．3
D．
x213．在平面直角坐标系xOy中，双曲线y???1的虚轴的一个端点到一条渐近线的距离
42为 。 14．已知圆
与圆
相交，则实数的取值范围为 。
x2y215．已知双曲线：2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y?3(x?c)与
ab双曲线的一个交点M满足?MF1F2?2?MF2F1，则双曲线的离心率为 。
16．某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为87米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽至少应是 米。
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（本小题10分）
x2y2（1）求与双曲线??1有相同焦点，且经过点32,2的双曲线的标准方程；
164??22（2）已知椭圆x?(m?3)y?m(m?0)的离心率e?3，求的值。 2
18．（本小题12分）
22已知圆C：x?y?1与直线l:3x?y?m?0相交于不同的A、B两点，O为坐标原点。
（1）求实数的取值范围； （2）若AB?3，求实数的值。
19．（本小题12分）
底面为菱形的直棱柱ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1B1、A1D1的中点。
（1）在图中作一个平面，使得BD??，且平面AEF//?.（不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱
ABCD?A1B1C1D1的截面）。
0（2）若AB?AA1?2,?BAD?60，求平面AEF与平面的距离d。
20．（本小题12分）
如图，设是圆
上的动点，点是在轴上的射影，为上一点，且
。
（Ⅰ）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程； （Ⅱ）求过点
且斜率为的直线被所截线段的长度。
21．（本小题12分）
如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且
PF1?。 PC3（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD； （Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值； （Ⅲ）设点G在PB上，且
PG2?．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由。 PB3
22．（本小题12分）
x2y23A(a,0)B(0,b)O(0,0)已知椭圆C：2?2?1（a?b?0）的离心率为，，，，?OAB的面
ab2积为1。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设是椭圆C上一点，直线PA与轴交于点M，直线PB与轴交于点N，求证：|AN|?|BM|
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