辽宁省大连市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

2019～2020学年第一学期期中考试

BDBDC BBACD AD AB

第Ⅱ卷（非选择题，共分）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。） 2513、5 14、

e? 15、

c?3?1a 16．32

三、解答题：本大题共3小题，共30分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x2y217．（1）??1（2）m?1

128【详解】

x2y2x2y2（1）∵双曲线与双曲线（﹣4＜λ??1有相同焦点，∴设所求双曲线方程为：??1，

16416??4??＜16），∵双曲线过点（32，2），∴

184??1，∴λ＝4或λ＝﹣14．（舍）

16??4??x2y2∴所求双曲线方程为??1．

128x2y2??（2）椭圆方程可化为m1， mm?3因为m?m?m?2?mm， ?＞0，所以m＞m?3m?3m?3mm?23m?m?2?3，c?a2?b2?，由e?，得，解得m＝1，所以m?m?3m?322m?322

即a＝m，b?＝1．

18．（1）(?2,2)；（2）m??1. 试题解析：（1） 解：由{x2?y2?13x?y?m?0消去得4x2?23mx?m2?1?0，由已知得，(23m)2?16(m2?1)?0得

m2?4?0，得实数的取值范围是(?2,2)；

（2）因为圆心C(0,0)到直线l:3x?y?m?0的距离为d?m3?1?m2，

m2所以AB=2r?d?21??4?m2 422由已知得4?m2=3，解得m??1. 19．（1）见解析;（2）d?试题解析：

457 19

（1）如图，取B1C1,D1C1的中点M,N，连接BM,MN,ND，则平面BMND即为所求平面. （2）如图，连接AC,AC交BD于O，∵在直棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面为菱形， ∴AC?BD，∴分别以DB,AC为x,y轴， O为原点建立如图所示空间直角坐标系， 又∵所有棱长为2， ?BAD?600，∴A0,?3,0,B?1,0,0?,C0,3,0 ， D??1,0,0?,A10,?3,2,B1?1,0,2?， D1??1,0,2?，∴E????????13??13? ,?,2,F?,?,2????2???22???2?uuuruuur?13?uuur?13?r，∴AE??,， AB?1,3,0，设n??x,y,z? ,2,AF??,,2????22??22???????13rruuux?y?2z?0n·AE?022是平面AEF的一个法向量，则{ruuu，即{，令y?43 rn·AF?013?x?y?2z?022uuurrrAB·n12457??得n?0,43,?3， n?57，∴点到平面AEF的距离h?r n1957??，∴平面AEF与平面的距离d?457 1920．（1）； （Ⅱ）.

，的坐标为

，

解：（1）设的坐标为

由已知得（Ⅱ）过点

，因为在圆上， 所以且斜率为的直线方程为

，

，将直线方程，所以

.

，即的方程为 ，

；

设直线与的交点为

，整理得

所以

21．(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) 【详解】

代入的方程，得： ，

，

3；(Ⅲ)见解析. 3(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD，由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A， 由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.

(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz，

uuur1uuur?224?易知：A?0,0,0?,P?0,0,2?,C?2,2,0?,D?0,2,0?，由PF?PC可得点F的坐标为F?,,?，由

3?333?uruuur1uuurE0,1,1PE?PD可得??，设平面AEF的法向量为：m??x,y,z?，则

2v?vuuu24?224?2m?AF?x,y,z?,,?x?y?z?0?????333333， ???uuuvv?m?AE??x,y,z???0,1,1??y?z?0?ur据此可得平面AEF的一个法向量为：m??1,1,?1?，

r很明显平面AEP的一个法向量为n??1,0,0?，

urrurrm?n133cos?m,n??u?rr?，二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为.

3?13m?n3uuur2uuur?422?GP0,0,2,B2,?1,0PG?PB(Ⅲ)易知?可得?,?,?， ???，由

3?333?uuur?422?urAG?,?,则??，注意到平面AEF的一个法向量为：m??1,1,?1?，

?333?uruuur其m?AG?0且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.

x222．（1）（2）证明见解析. ?y2?1；

4【详解】

（Ⅰ）由题意得解得.所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当

时，直线

的方程为

，设，则.

.

令，得，从而.

直线的方程为.

令，得，从而.

所以

. 当所以综上，

时，

，. 为定值.