浙江省高中数学竞赛试卷 含答案

2017年浙江省高中数学竞赛

一、填空题：本大题共10个小题,每小题8分,共80分.

61.在多项式(x?1)(x?2)的展开式中x的系数为 ．

3102.已知log7(5a?3)?log2a2?15,则实数a? ．

23.设f(x)?x?ax?b在?0,1?中有两个实数根,则a?2b的取值范围为 ．

sin2x?cos2x?cos2xcos2y?sin2xsin2y?1,则4.设x,y?R,且

sin(x?y)x?y? ．

5.已知两个命题,命题p:函数f(x)?logax(x?0)单调递增；命题q：函数

g(x)?x2?ax?1（x?R）．若p?q为真命题，p?q为假命题，则实数a的取值范围

为 ．

6.设S是(0,)中所有有理数的集合，对简分数

58qqq?1?S，定义函数f()?，(p,q)?1，

ppp则f(x)?2在S中根的个数为 ． 322227.已知动点P，M，N分别在x轴上，圆(x?1)?(y?2)?1和圆(x?3)?(y?4)?3上，则|PM|?|PN|的最小值为 ．

8.已知棱长为1的正四面体P?ABC，PC的中点为D，动点E在线段AD上，则直线BE与平面ABC所成的角的取值范围为 ．

rrrrrrrr9.已知平面向量a，b，c，满足|a|?1，|b|?2，|c|?3，0???1，若b?c?0，则rrr|a??b?(1??)c|所有取不到的值的集合为 ．

10.已知f(x)????2x,x?0,2?x?1,x?0,方程f(x)?21?x2?|f(x)?21?x2|?2a*4?0有三个

根x1?x2?x3．若x3?x2?2(x2?x1)，则实数a? ．

二、解答题：本大题共5个小题，满分120分，将答案填在答题纸上）

11.设f1(x)?x2?32，fn?1(x)?x2?16fn(x)，n?1，2，…．对每个n，求fn(x)?3x3的实数解．

x2y2??1的右焦点为F，过F的直线y?k(x?2)交椭圆于P，Q两点12.已知椭圆62(k?0)．若PQ的中点为原点，直线ON交直线x?3于M．

（1）求?MFQ的大小； （2）求

PQ的最大值． MF13.设数列?an?满足：|an?1?2an|?2，|an|?2，n?1,2,3，…． 证明：如果a1为有理数，则从某项后?an?为周期数列．

14.设a1，a2，a3；b1，b2，b3?Z，证明：存在不全为零的数?1，?2，?3??0,1,2?，

?使得?1a1??2a2??3a3和?1b1??2b2??3b3同时被3整除． 15.设???a1,a2,…,an?为?1,2,…,n?的一个排列，记F(?)??aai?1nii?1，an?1?a1，求

minF(?)．

2017年浙江省高中数学竞赛答案

一、填空题

1.?4128

3.?0,2?

4.2k??9.(??,?2（k?Z） 5.(?2,1]U[2,??)

?14?7.210?3?1 8.?0,arctan?

7??10.

613?1)U(4,??) 1317?3 2三、解答题

11.证明：利用数学归纳法． （1）x?2是fn(x)?3x的解． 当n?1时，x?2是f1(x)?x2?32?3x的解.

4?16fk(2)?6. 3当n?k时，设fk(2)?6，则fk?1(2)?由此可得x?2是fn(x)?3x的解（对于所有的n）.

32x． 2322当n?1时，f1(x)?x?32?3x?x(x?2)．

2（2）当x?2时，fn(x)?3x?当n?k时，设fk(x)?3x?1632fk(x)?x2?8x2?3x． x，则fk?1(x)?x2?32由此可得x?2都不是fn(x)?3x的解（对于所有的n）． （3）当0?x?2时，fn(x)?3x． 当n?1时，f1(x)?x2?32?x2?8x2?3x（0?x?2）.

x2?16fk(x)?x2?1?3x． 3当n?k时，设fk(x)?3x，则fk?1(x)?由此可得0?x?2都不是fn(x)?3x的解（对于所有的n）． 因此，对每个n，fn(x)?3x的实数解为x?2．