t2SArA2TBrA3rB3TA线扫过的面积为S＝πr，即＝2＝k，根据开普勒第三定律可知2＝2，联立解得
TSBrBTATBTATB＝k3，A正确。
★12．[多选](2018·西安模拟)欧洲航天局的第一枚月球探测器——“智能1号”环绕月球沿椭圆轨道运动，用m表示它的质量，h表示它在近月点的高度，ω表示它在近月点的角速度，a表示它在近月点的加速度，R表示月球的半径，g表示月球表面处的重力加速度。忽略其他星球对“智能1号”的影响，则它在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于( )
A．ma C．m(R＋h)ω
2
R2g
B．m ?R＋h?2R2ω2
D．m
R＋h
解析：选AB “智能1号”在近月点所受月球对它的万有引力，即为它所受的合力，Mm
由牛顿第二定律得F＝ma，A正确；由万有引力定律得F＝G，又在月球表面上，?R＋h?2MmR2gG2＝mg，解得F＝m，B正确；由于“智能1号”环绕月球沿椭圆轨道运动，曲R?R＋h?2率圆半径不是R＋h，C、D错误。
13.(2018·东北三省四市一模)开普勒第三定律指出：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。该定律对一切具有中心天体的引力系统都成立。如图，嫦娥三号探月卫星在半径为r的圆形轨道Ⅰ上绕月球运行，周期为T。月球的半径为R，引力常量为G。某时刻嫦娥三号卫星
在A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，在月球表面的B点着陆。A、O、B三点在一条直线上。求：
(1)月球的密度；
(2)在轨道Ⅱ上运行的时间。
2π?2GMm
解析：(1)由万有引力充当向心力：2＝m??T?r， r4π2r3解得M＝
GT2月球的密度：ρ＝
M4πR3
3πr3
，解得ρ＝23。
GTR3
R＋r， 2
(2)椭圆轨道的半长轴：a＝
设椭圆轨道上运行周期为T1， a3r3
由开普勒第三定律有：2＝2，
T1TT1在轨道Ⅱ上运行的时间为t＝，
2
?R＋r?T
解得t＝
4rR＋r
。 2r
R＋r
2r
?R＋r?T3πr3
答案：(1)23 (2)
GTR4r[C级——难度题目自主选做]
14．(2018·宝鸡一模)宇航员在某星球上为了探测其自转周期做了如下实验：在该星球两极点，用弹簧秤测得质量为M的砝码所受重力为F，在赤道测得该砝码所受重力为F′。他还发现探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T。假设该星球可视为质量分布均匀的球体，则其自转周期为( )
A．TC．T
F′ FF－F′
F
B．T D．T
F F′F
F－F′
解析：选D 设星球和探测器质量分别为m、m′ Mm
在两极点，有：G2＝F，
R
Mm4π2
在赤道，有：G2－F′＝MR2，
RT自
mm′4π2
探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T，则有：G2＝m′ R2；联立以RT上三式解得T自＝T
F
。故D正确，A、B、C错误。
F－F′
★15．[多选](2017·衡水模拟)由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法正确的是( )
A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg0 ?g0－g?T2C．地球的半径为 4π23πg0D．地球的密度为2
GT?g0－g?
解析：选BCD 因地球表面两极处的重力加速度大小为g0，则质量为m的物体在地球Mm
北极受到的重力大小为mg0，选项A错误；因在地球的两极G2＝mg0，则质量为m的物
RMmMm
体在地球赤道上受到的万有引力大小为F＝G2＝mg0，选项B正确；在赤道上：G2－
RR
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