（整理）（习题解答）习题9-2常数项级数收敛性的判定

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习题 9-2

?1.判断下列级数的敛散性.

??111（1）?； （2）?2； （3）?；

n?1ln(n?1)2n?1n?1n?1n?1?n?11（4）?； （5）?2； （6）?（p?0）． nn?1nn?1n?1n?1n?11?p?1?解：（1）?1； 2n?1n?1?方法一：（利用正项级数的比较判别法）

11?因为

2n?12??11111?11??，而调和级数?发散，从而???也12n2nn2n2nn?1n?1n?1n?21发散；由正项级数的比较判别法，得级数?1发散。 2n?1n?1?方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）

1?1n12n?1因为lim?lim?，而调和级数?发散，

n??n??2n?112n?1nn则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数?（2）?1； 2n?1n?1?1发散。 2n?1n?1?方法一：（利用正项级数的比较判别法）

?111?2，而级数?2收敛（p?级数的结论）因为2；

nn?1nn?1由正项级数的比较判别法，得级数?1收敛。 2n?1n?1?方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）

1?21n2n?1因为lim， ?lim2?1，而级数?2收敛（p?级数的结论）

n??n??n?11nn?12n精品文档

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?则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数?12收敛。 n?1n?1?（3）?1n?1ln(n?1)；

方法一：（利用正项级数的比较判别法）

因为1ln(n?1)?1?n（n?1）

，且调和级数?1发散； n?1n?则由正项级数的比较判别法，得级数?1n?1ln(n?1)发散。

方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）

1因为limln(n?1)n??1?limnn??ln(n?1)，nlimx洛必达1x???ln(x?1)法则xlim???1?xlim???(x?1)???， x?11所以limnln(n?1)?1n??ln(n?1)???，即limn??1???，又调和级数?发散，n?1nn?则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数?1发散。

n?1ln(n?1)（4）??1

n?1nn?1；方法一：（利用正项级数的比较判别法） ?因为1111nn?1?nn?3，而级数?3收敛（p?级数的结论），

n2n?1n2?由正项级数的比较判别法，得级数?1n?1nn?1收敛。

方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）

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而

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13?1n2nnnn?1因为lim?lim?lim?1，而级数?3收敛（p?级数

n??n??nn?1n??nn?11n?1n23n2的结论），

则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数?n?1?1nn?1收敛。

（5）?n?1； 2n?1n?1?n?1?21n(n?1)n?1因为lim?lim2?1，而调和级数?发散，

n??n??n?11n?1nn则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数?n?1发散。 2n?1n?1?注：本题中，级数的一般项要进行适当的缩小不易，所以采用正项级数的比较

判别法做起来相对比较困难一些，而采用正项级数的比较判别法的极限形式相对容易一些。 （6）?1（p?0）． n1?pn?111??1?0，则由级数收敛的必要条件，得级数

n??1?pn1?0?当0?p?1时，lim?1（0?p?1）发散； ?nn?11?p当p?1时，lim?111?lim??0，则由级数收敛的必要条件，得级数

n??1?pnn??1?1n21（p?1）发散； ?nn?11?p1?

111?pn1?1，且级数?n是公比为（?1）的等比级数，当p?1时，limn??1ppn?1p

pn是收敛的，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数?精品文档

1收敛。 n1?pn?1?精品文档

?11综上，当0?p?1时，级数?发散；当时，级数收敛。 p?1?nnn?11?pn?11?p?

2. 判断下列级数的敛散性.

??1?n?2?n?2（1）?； （2）?sinn； （3）?（a?R）； a(n?1)(n?4)2nn?1n?1n?2??3nn2（4）?(1?cos)； （5）?； （6）?n； nnn?1n2n?13n?2?????n!2n1?（7）?n； （8）?ntann?1； （9）?； nn2n?1n?1n?1?ln(n?1)???n?（10）???n?1?3n?1??2n?1?b?； （11）??（其中liman?a，an,b,a均为正数）. ???n??an?1?n??n解：（1）?1；

(n?1)(n?4)n?1?方法一：（利用正项级数的比较判别法）

?111?2，且?2收敛， 因为

(n?1)(n?4)nn?1n由正项级数的比较判别法，得级数?1收敛。

(n?1)(n?4)n?1?方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）

1?n21(n?1)(n?4)?lim?1，且级数?2收敛， 因为limn??n??(n?1)(n?4)1n?1nn2由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数?（2）?sinn?1?1收敛。

n?1(n?1)(n?4)??2n；

方法一：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）

?n等价无穷n?22因为limlim?1，且等比级数?n收敛，

n???小代换n???n?122n2nsin??精品文档