（整理）（习题解答）习题9-2常数项级数收敛性的判定

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由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数?sinn?1??2n收敛。

方法二：（利用正项级数的比值判别法）

n+1等价无穷n?1122因为limlim??1，

n???小代换n???2sinn22nsin??由正项级数的比值判别法，得级数?sinn?1??2n收敛。

（3）?n?2??n?2?n?2（a?R）； an??n?2?n?2(n?2)2?(n?2)2??a=4?nan(n?2?n?2)n?2n?2因为

?n?21na+12?22???1?n?1?n????（a?R），

1n而limn??a+12?22?1??1?????nn???limn??1n1a+211?22?1?nn?1， 2利用p?级数?1收敛性的结论，得 pnn?1??11111???1??当???1即??时级数?是发散的；当即时级数1a+2222n?2n2?n?2?1na+12是收敛的；

?1n?2?n?2由正项级数的比较判别法的极限形式，得当??时级数?发a2nn?2?1n?2?n?2散；当??时级数?收敛。 a2nn?2?（4）?(1?cos)；

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1???1?cos等价无穷??212?n???nlim=因为lim，且级数?2收敛，

n??11小代换n??2n?1n22nn?2?由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数?(1?cos)收敛。

nn?2?注：本题不能用正项级数的比值判别法。

3n（5）?； nn?1n2?3n+13n3(n?1)2n?1?lim=?1， 因为limn??n??2(n?1)3n2n2n3n则由正项级数的比值判别法，得级数?发散。 nn2n?1?n2（6）?n；

n?13?(n?1)2n?1(n?1)213?lim=?1， 因为limn??n??n23n233n3n则由正项级数的比值判别法，得级数?n收敛。

n?1n2?n!2n（7）?n；

nn?1?(n?1)!2n?12(n?1)nn22(n?1)n?1因为lim?lim?lim??1， nn??n??(n?1)n?1n??n!2ne1??1?n?nn???n!2n则由正项级数的比值判别法，得级数?n收敛。

nn?1?（8）?ntann?1??2n?1；

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(n?1)tan因为limn??2n?2等价无穷lim?小代换n??ntann?12?(n?1)?2n?2?limn?1?1?1，

n??2n?2nn?12则由正项级数的比值判别法，得级数?ntann?1??2n?1收敛。

（9）?n?1?1?ln(n?1)?1n；

1?0?1，

n??ln(n?1)?因为limnn???ln(n?1)?n?lim则由正项级数的根值判别法，得级数?n?11?ln(n?1)?n收敛。

?n?（10）???n?1?3n?1??n?因为limn??n???3n?1??2n?1；

2n?1?n??lim??n??3n?1??2?1n1?1??????1，

9?3?2n?12?n?则由正项级数的根值判别法，得级数???n?1?3n?1??收敛。

?b?（11）??； ???n?1?an??n?b?bbn?lim?， 因为lim??n???a?n??aan?n??b?bb?1即由正项级数的根值判别法，当?1即b?a时级数??收敛；当???aan?1?an?????b?bb?b?a时级数???发散；当?1即b?a时，级数???可能收敛也可能

????an?1?an?n?1?an?发散。

3. 判断下列级数的敛散性.

????(n!)22n?12n?11（1）； （2）； （3）； （4）； ????n(2n)!1357...(2n?1)2n!n?1n?1n?1n?1?nnnn精品文档

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???n4?1?1?n2?n（5）； （6） （7） （8） 2sinn；(a,b?0)；?????n?e?；n!3na?b?n?1n?1?n?1n?1?enn!（9）?n．

n?1n?解：（1）?2n?1； n2n?1?2n?1n?12n?112因为lim?lim??1， n??2n?1n??2(2n?1)2n2则由正项级数的比值判别法，得级数?(2）?1； n!n?1?2n?1收敛。 n2n?1?11(n?1)!?lim?0?1， 因为limn??n??n?11n!则由正项级数的比值判别法，得级数?(n!)2（3）?；

(2n)!n?1?1收敛。 n!n?1?[(n?1)!]2(n?1)21[2(n?1)]!?lim??1， 因为limn??n??(2n?2)(2n?1)(n!)24(2n)!(n!)2则由正项级数的比值判别法，得级数?收敛。

n?1(2n)!?2n?1（4）?；

1357...(2n?1)n?1?精品文档