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2n21357...(2n?1)(2n?1)因为lim?lim?0?1， n?1n??n??22n?11357...(2n?1)2n?1则由正项级数的比值判别法，得级数?收敛。
1357...(2n?1)n?1?n4（5）?；
n?1n!?(n?1)4(n?1)3(n?1)!?lim?0?1， 因为lim44n??n??nnn!n4则由正项级数的比值判别法，得级数?收敛。
n?1n!?
（6）?2nsinn?1??3n ；
n?1等价无穷n?1233因为limlim??1，
n???小代换n??n?32nsinn2n332n?1sin?2n?1?则由正项级数的比值判别法，得级数?2nsinn?1??3n收敛。
（7）?1(a,b?0)； na?bn?1?1?1n1na?b因为lim?lim?，而调和级数?发散，
n??n??na?b1an?1nn则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数??1?n2?（8）???e?；
?n?1?n?1(a,b?0)发散。 na?bn?1?精品文档
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21?e?xx?x洛必达1?因为limx?lim?1?x2??1?limx21?lim?1， x2x???x???x???x???1法则e?e2xe?x1?n2?e?1n所以lim?1，而调和级数?发散，
n??1n?1nn2??1则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数???e?n?发散。
?n?1?n?enn!（9）?n；
n?1n?en?1(n?1)!enne(n?1)n?1因为lim?lim?lim?1， nn??n??(n?1)nn??enn!1??1?n?nn???enn!此时由正项级数的比值判别法不能得到级数?n的敛散性。
n?1n?nnn?1??1?1??????但是由于数列??1???是单调递增的，且lim?1???e，所以?1???e，
n??nn?n?????????en?1(n?1)!en?1(n?1)!enn!enn!e(n?1)n?1?从而，从而limn?0， ??1，即n?1nnnn??n(n?1)nen!1???1?n?nn??enn!此时，利用收敛级数的必要条件，可知级数?n是发散的。
n?1n?
4.判断下列级数是否收敛？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ （1）?(?1)nn?1??1??sin(nx)1?n1n1?(?1)；（2）；（3）； （4） (?1)1?????；2n?nlnn2nn??n?1n?2n?12?nn??nln(n?1)n?1nn?12（5）?(?1)； （6）?(?1)； （7）?(?1). n?1n?13n!n?1n?1n?1?解：（1）?(?1)nn?11n；
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因为?(?1)n?1?n1n??n?1?1n发散（p?级数的结论），所以级数?(?1)nn?1?1n不绝对
收敛；
对交错级数?(?1)nn?1??1n1n，由于1n?1?1n?，且limn??1n则由莱布尼兹定理，?0，
得交错级数?(?1)n?1n收敛；从而级数?(?1)nn?11n条件收敛。
（2）?(?1)nn?2?1； lnn??11111???(n?2)，且调和级数?发散，则由正因为?(?1)，而lnnn?2lnnlnnnn?2n?1nn??111??项级数的比较判别法，得级数?(?1)发散，即级数?(?1)n不lnnn?2lnnlnnn?2n?2n??绝对收敛； 对交错级数?(?1)nn?2??1111?0，则由莱布尼兹定?，由于，且limn??ln(n?1)lnnlnnlnnn?11理，得交错级数?(?1)收敛；从而级数?(?1)n条件收敛。
lnnlnnn?2n?2（3）?sin(nx)； 2nn?1??sin(nx)sin(nx)11?，因为，且级数收敛（p?级数的结论），?2222nnnn?1n?对级数?n?1则由正项级数的比较判别法，得级数?n?1??sin(nx)sin(nx)收敛，即级数绝对收?2n2nn?1敛。
1?1?（4）?(?1)nn?1??；
2?n?n?1?n因为
?1?1?1?1?(?1)1??1???n?2n?n?n????n?1n?12?n?nn，而
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1?1?1?1?1limnn?1???lim?1????1， n??n??22?n?n?2??1?1?1?n1?则由正项级数的根值判别法，得级数?(?1)n?1????n?1??收敛，
2n2n????n?1n?1?nnn1?1?即级数?(?1)nn?1??绝对收敛。
2?n?n?1?n（5）?(?1)nn?1?ln(n?1)； n?1
??ln(n?1)ln(n?1)ln(n?1)11???因为?(?1)，而，且?发散（p?n?1n?1n?1n?1n?1n?1n?1n?1n?级数的结论），
?ln(n?1)ln(n?1)??则由正项级数的比较判别法，得级数?(?1)发散，所以
n?1n?1n?1n?1n??级数?(?1)nn?1ln(n?1)不绝对收敛； n?1对交错级数
?(?1)nn?1?ln(n?1)n?1，令f(x)?lnx(x?2)x，则
1x?lnx11?lnx，从而当x?e时f?(x)?0，即当x?e时f?(x)?x?22xxf(x)?lnxln(n?2)ln(n?1)ln(n?1)?(n?2)，又lim?0（因为单调递减；故
n??xn?2n?1n?11ln(n?1)ln(x?1)洛必达?0）， limlimx?1?0，所以limn??x???x???n?1x?1法则1?ln(n?1)ln(n?1)则由莱布尼兹定理，得交错级数?(?1)收敛，从而?(?1)n也
n?1n?1n?2n?1n??收敛。故级数?(?1)nn?1ln(n?1)条件收敛。 n?1
（6）?(?1)n?1n?1?n3n?1；
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