三角函数与平面向量

第二部分 三角函数与平面向量

一、知识框图：

三角函数

正弦定理 解三角形 余弦定理 面积 实际应用 a＋b＋c11S△＝ah＝absinC＝p(p－a)(p－b)(p－c)（其中p＝） 222 共线与垂直 垂直 解的个数的讨论 →a∥→b?→b＝?→a ? x1y2－x2y1=0 →a⊥→b?→b·→a＝0 ? x1x2＋y1y2=0 平面向量 线性运算 基本定理 坐标表示 几何意义 数量积 夹角公式 共线（平行） a·b设→a与→b夹角?，则cos?＝——→→ |a|·|b|→→角的概念 弧度制 弧长公式、扇形面积公式 三角函数线 任意角的三角函数的定义 同角三角函数的关系 三角函数 诱导公式 和角、差角公式 二倍角公式 公式的变形、逆用、“1”的替换 化简、求值、证明（恒等变形） 定义域 正弦函数y＝sin x = 余弦函数y＝cos x 正切函数y＝tan x y＝Asin(?x＋?)＋B 最值 奇偶性 单调性 周期性 对称性 值域 图象 的 图 象 对称轴（正切函数除外）经过函数图象的最高（或低）点且垂直x轴的直线，对称中心是正余弦函数图象的零点，正切函数的对k?称中心为(，0)（k∈Z）. 2①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；②图象也可以用五点作图法；③用整体代换求单调区间（注意?的符号）； ④最小正周期T＝(2k＋1)?－2?k?－?2?；⑤对称轴x＝，对称中心为(，b)（k∈Z）. | ? |2??概念 模 加、减、数乘 几何意义 |→a|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2 →a·bb在→a方向上的投影为|→b|cos?＝——→ |a|→→投影 1

二、基础知识要点剖析：

1、与角?终边相同的角的集合??|??2k???,k?Z?; 十六条终边所对应的角能记住吗？集合??|??k??????,k?Z?表示怎样的终边的角？区分锐角、小于900的角、3?0~900的角、钝角、对顶角、区域角、区间角、象限角等。

22、弧长公式：l?|?|R，扇形面积公式：S?1lR?1|?|R，1弧度(1rad)?57.3

2yxy3、三角函数的定义（x,y,r三个量的比值）：sin??，cos??，tan??(x?0)。

rrx㈠任意角的三角函数值在各个象限的符号知道吗？特别是特殊角的三角函数值记准了吗？

㈡正弦线、余弦线、正切线会画吗？利用它们求三角不等式很简便哦！有印象吗？ ㈢常见三角不等式：（1）若x?(0,2?)，则sinx?x?tanx，(2) 若x?(0,)，则

222.

?1?sinx?cosx?2(3) 若x?R,则1?sinx?cosx?，22sin?，注意公式变形： cos?????21?sin??sin?cos?2sin(?) (1)1?2sin?cos??(sin??cos?).

2224?? 1?cos??2sin， 1?cos??2cos

22（2）如sin??cos??t ,sin?cos??d,tan?之间互相转换懂吗？知一求二：

t2?1ni?cos??sin2??t2?1；(3)若sin??cos??t，则s；sin??cos???2?t22（4）若sin?cos??t，则sin??cos???1?2t；sin??cos???1?2t.

k5、诱导公式分两大类：???(k为偶数与奇数）。口诀：“奇变偶不变，符号看象限”．．．．．．．．．．．．．24、同角三角函数的基本关系式 ：①sin??cos??1，②tan?=

怎么理解这口诀？（注意：诱导公式中始终视?为锐角和原函数所在象限的符号）。领会互为余角或互补的三角函数的相互转化：如

??2????，??与-?,??与??。

364436??2?? (1)sin(x?)?cos(?x),cos(??)?sin(??) ，

4436??与（2）若???????2，则sin??cos?,cos??sin?。

6、三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图用五点法能迅速画出吗？它们的图象与性质

熟悉吗？（比如定义域、值域、奇偶性，单调性、周期性、最值、对称轴、对称中心）。能写出它们的单调区间及其取最值时的x的值的集合吗？同时别忘了k∈Z哦；会解简单的三角不等式及三角方程吗？函数值能比较大小呢？重点是如何求限定区间的单调区间，最值，要会区分哦？??0时的单调区间又怎样求？

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7、会用五点法画正弦型曲线函数f(x)?Asin(?x??)?B（??0,A?0）的草图吗？①五点法作图，哪五点？②振幅、相位、初相、周期T=2?、频率f呢? 当φ=kπ时，函数为奇

?函数;当φ=kπ+

?时为偶函数理解吗？③在对称轴处y取最值,在对称中心处y值为0；④2余弦型曲线、正切型曲线可类比。

⑤根据函数f(x)?Asin(?x??)?B的部分图象求参数的值会吗？即确定?,?、A、B的值。?：可由T?2??得到，在图象中，相邻的最大值和最小值间的距离为周期的

1；相邻的最大值2或最小值与零点间的距离为周期的

?1。?：可运用xo??得到，其中xo为最大值左侧和

?4原点最近的第一个零点的横坐标。A、B、T：当x?x1时，取得最小值为ymin ；当x?x2时，取得最大值为ymax，则??1??yxmanmiy2?，???ymax?ymin?，12??x2?x1?x1?x2?．特2别是φ的值很容易求错，要小心哦！

8、函数y=Asin(?x??)?B（??0,A?0）的图象有三种变换(平移、伸缩和振幅)？具体变换步骤还记得吗？（先平移后变换、先变换后平移）φ正左移负右移；B正上移负下移;

???y?sin(x??)?????????y?sin(?x??) 1、y?sinx????左或右平移|?|横坐标伸缩到原来的1倍2、

???y?sin(y?sinx?????????y?sin?x??????x??)

横坐标伸缩到原来的1倍?左或右平移||倍|B|?纵坐标伸缩到原来的?????A??y?Asin(?x??)?上或下平移?????y?Asin(?x??)?B

9、三角公式中的和、差、倍、升降次公式及其逆用、变用都掌握了吗？注意角范围的限定，充分挖掘三角式的隐含条件和条件范围限制，求值时可排除值的多样性。 1、两角和与差：cos(???)?cos?cos??sin?sin?；

sin(???)?sin?cos??cos?sin?

tan(???)?tan??tan?tan??tan?tan(???)?1?tan?tan? 1?tan?tan?

二倍角：sin2??2sin?cos? tan2?? cos2?2tan?1?tan2?

22?cos2??sin2??2cos??1?1?2sin?

2tan?万能公式sin2??1?tan2?

吗？设x?tan?后表达式又怎样？

1?tan2?；cos2??1?tan2?3

2tan?；tan2??1?tan2?.会推导

2、公式变换技巧：

1?cos???2cos2?1?cos?222（1)、降幂公式：，

?1?cos??sin2??2sin2?1?cos?222cos2???2cos2?，1?cos2??2sin2?

（2）、变形公式：tan??tan??tan(???)?1?tan?tan??

升幂公式：1?cos2? 若A?B??4?(1?tanA)(1?tanB)?2,

2 (3)、“1”的妙用： 1?2sin?cos??(sin??cos?)2 ，1?cos2??2cos?， 1?cos2??2sin? ，1?cos??sin? ,1?tan222?， 4 1?cos??2sin?2，

1?tan???tan(??)，

1?tan?410、你对三角变换中的几大变换弄清吗？如角的变换（和角、差角、倍角公式）；函数名的

变换（切化弦、弦化切）；次的变换(升、降次公式)；形的变换(统一函数形式)；幂的变换；常数代换；公式变形等等。在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换： （1）角的变换：

①2?是?的二倍；4?是2?的二倍；?是二倍；

3????的二倍；是的二倍；3?是的

2224????是的二倍；?2?是??的二倍。

2436oooo??30o? ；cos? ；②15?45?30?60?45?；问：sin 12122o③??(???)???(???)??；

?4????2?(?2??(???)?(???)?(?4??)?(?4??)；

4???2??)；????2???????2

??2??????2?等等

（2）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手：

基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。

（3）条件求值：给角求值，给值求值，给值求角三大类。

11、已知三角函数的值求角，会吗？注意：所得的解不一定唯一的，而是有无数多个． 步骤： ①确定角?所在的象限；②如函数值为正，先求出对应的锐角?1；如函数值为负，先求出与其绝对值对应的锐角?1；③根据角?所在的象限，得出0~2?间的角——如

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