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设?(??)=sin??+2??cos??+??，??∈[2,??]，
则?′(??)=cos??+2cos???2??sin??=3cos???2??sin??<0． 所以?(??)在[2,??]上单调递减． ?(2)=1+??>0， ?(??)=?2??+??．
当?2??+??≥0时，即??≥2??时，?(??)≥0，对???∈(2,??)，?(??)>0， 所以??′(??)>0，??(??)在(2,??)内单调递增，不符合题意． 当?2??+??<0时，即?10，?(??)<0， 所以???1∈(2,??)，使?(??1)=0， 因为?(??)在(2,??)内单调递减，
所以对???∈(2,??1)，?(??)>0，所以??′(??)>0． 所以??(??)在(2,??1)内单调递增，不符合题意． 所以当??>?1时，??(??)在(2,??)内不单调递减． 综上可得??≤?1，
故??的取值范围为(?∞,?1]．
【点睛】本题考查了导数的几何意义及导数的综合应用，同时考查了数形结合的数学思想与分类讨论的思想，属于中档题．
22.设??为正整数，各项均为正整数的数列{????}定义如下： ??1=1，????+1=,?????????为偶数,
{
????+??,?????为奇数.
2????
??
????????
??
??
??
??
??
??
（1）若??=5，写出??8，??9，??10；
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（2）求证：数列{????}单调递增的充要条件是??为偶数； （3）若??为奇数，是否存在??>1满足????=1？请说明理由．
【答案】（1）??8=6，??9=3，??10=8；（2）证明见解析；（3）存在，理由见解析． 【解析】 【分析】
（1）??=5时，结合条件，注意求得??8，??9，??10；
（2）根据????+1?????与零的关系，判断数列{????}单调递增的充要条件； （3）存在??>1满足????=1.
【详解】（1）??8=6，??9=3，??10=8． （2）先证“充分性”．
当??为偶数时，若????为奇数，则????+1为奇数．
因为??1=1为奇数，所以归纳可得，对???∈???，????均为奇数，则????+1=????+??， 所以????+1?????=??>0， 所以数列{????}单调递增． 再证“必要性”．
假设存在??∈???使得??????为偶数，则????+1=??2
因此数列{????}中的所有项都是奇数．
此时????+1=????+??，即??=????+1?????，所以??为偶数． （3）存在??>1满足????=1，理由如下：
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因为??1=1，??为奇数，所以??2=1+??≤2??且??2为偶数，??3=假设????为奇数时， ????≤??；????为偶数时，????≤2??． 当????为奇数时，????+1=????+??≤2??，且????+1为偶数； 当????为偶数时，????+1=
????2
1+??2
≤??．
≤??．
所以若????+1为奇数，则????+1≤??；若????+1为偶数，则????+1≤2??． 因此对???∈???都有????≤2??．
所以正整数数列{????}中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项． 设集合??={(??,??)|????=????,??
令??1是??中的最小元素，下面证??1=1． 设??1>1且????1=????1(??1
当????1≤??时，????1?1=2????1，????1?1=2????1，所以????1?1=????1?1； 当????1>??时，????1?1=????1???，????1?1=????1???，所以????1?1=????1?1． 所以若??1>1，则??1?1∈??且??1?11满足????=1．
【点睛】本题考查数列的递推关系，考查数列的单调性，考查学生分析问题及解决问题得能力，属于难题．
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