?EF?AG，AF?PG
1设正方形ABCD边长为a，则AB?a，AF?PG?a
21?AG?EF?AE?AF?1?a2?4224?a2， 24?a2
，?BG?AB?AG?a?2在Rt?BPG中，QBG2?PG2?BP2 4?a2212?(a?)?(a)?(3)2
22解得：a2?2?2，
?S?APD?S?APB?S?AEB?S?APB?③正确；
114?a212?1
，?AB(EF?PG)?a(?a)?22222?S正方形ABCD?a2?2?2；
?④正确；
故选：A．
二．填空题
11．（2020?哈尔滨模拟）如图，在菱形ABCD中，连接BD，点E在AB上，连接CE交BD于点F，作FG?BC于点G，?BEC?3?BCE，BF?535DF，若FG?，则AB的长为 ． 1142
21
【解析】连接AC交BD于M，如图所示： 设BF?5a，则DF?11a， ?BD?16a，
Q四边形ABCD是菱形，
?AC?BD，?ACB??ACD，AB?BC，AB//CD，BM?DM?12BD?8a， ?FM?BM?BF?3a，
QAB//CD， ??BEC??ECD， Q?BEC?3?BCE， ??ECD?3?BCE，
??ACE??BCE， ?CF平分?ACB， QFG?BC，FM?AC，
?FG?FM?34， ?3a?34， ?a?14， ?BF?54，BM?2， 在Rt?FMC和Rt?FGC中，??CF?CF?FM?FG，
?Rt?FMC?Rt?FGC(HL)， ?CG?CM，
在Rt?BFG中，BG?BF2?FG2?(534)2?(4)2?1，
设CG?CM?x，则BC?x?1，
在Rt?BMC中，由勾股定理得：22?x2?(x?1)2， 解得：x?32， ?AB?BC?52．
22
12．（2020?哈尔滨模拟）如图，在?ABC中，?ACB?90?，点E为AB中点，点L在AC的延长线上，连接LE交BC于点D，过点E作AB的垂线交?LCB的平分线于点F，若?CAB?3?L，EF?3，则DL的长为 6 ．
【解析】如图，在LE上取一点H，使得LH?CH，连接EC，设?L?x，则?A?3x．
Q?ACB?90?，AE?EB，
?CE?AAE?EB， ??EAC??A?3x， Q?ECA??L??AEL， ??CEL?2x，
QHC?HL， ??L??HCL?x，
??CHE??L??HCL?2x，
23
??CHE??CEH，
?CE?CH， QCF平分?LCD， ??LCF??FCD?45?， Q?F??LEF??L??LCF，
??F?90??(180??4x)?x?45?， ??F?135??3x，
Q?FCE?45???ECB?45??90??3x?135??3x， ??F??ECF，
?EC?EF?3， ?CH?3，
Q?L??ADH?90?，?HCD??HCL?90?，?L??HCL，
??HCD??HDC， ?CH?DH， ?LH?CH?DH?3， ?LD?6．
故答案为6．
13．（2019秋?蚌埠期末）如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE?4AE，点F在DC的延长
CF?2， 线上，连接EF，过点E作EG?EF，交CB的延长线于点G，若AB?5，则线段BG的长是 5 ．
【解析】如图，作EH?EC交CG于H． 则?CEH?90?，
QEG?EF， ??GEF?90?， ??GEH??FEC，
24
Q四边形ABCD是正方形，AB?5，
??GCF??BCD?90?，BC?AB?5，AC?2AB?52，?ACB?45?， ??ECF?90??45??135?，?CEH是等腰直角三角形， ?EH?EC，?EHC?45?， ??EHG?135???ECF，
??HEG??CEF?在?HEG和?CEF中，?EH?EC，
??EHG??ECF???HEG??CEF(ASA)，
?HG?CF?2，
QCE?4AE，AC?2AB?52，
?CE?42， ?CH?2CE?8，
?CG?HG?CH?10， ?BG?CG?BC?5；
故答案为：5．
CD上的点，14．（2020?河北模拟）如图，在正方形ABCD中，且AE?DF．E，AF，F分别是边AD，AC?2，DE交于点O，P为AB的中点，则OP? 1 ． 2
25
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