复习提升课
空间几何体的表面积与体积
如图所示，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB
＝60°，在平面 ABCD 内过点 C 作l⊥CB，以 l 为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积.
【解】 由题易知以 l 为轴将梯形 ABCD 旋转一周后形成的几何体如图所示，即圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥.
在梯形 ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°， BC－AD
所以CD＝＝2a，AB＝CDsin 60°＝3a，
cos 60°所以 DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a， 1
所以 DO＝DD′＝a.
2
由上述计算知，圆柱的母线长为3a，底面半径为 2a； 圆锥的母线长为 2a，底面半径为 a.
所以圆柱的侧面积 S1＝2π·2a·3a＝43πa2， 圆锥的侧面积 S2＝π·a·2a＝2πa2， 圆柱的底面积 S3＝π（2a）2＝4πa2， 圆锥的底面积 S4＝πa2，
所以组合体上底面面积 S5＝S3－S4＝3πa2， 故旋转体的表面积
S＝S1＋S2＋S3＋S5＝（43＋9）πa2.
又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积，且 V13
π·（2a）2·3a＝43πa3，V锥＝·π·a2·3a＝πa3，
33
故旋转体的体积 V＝V柱－V锥＝43πa3－3113
πa3＝πa3. 33
柱
＝
空间几何体表面积、体积的求法
（1）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. （2）旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
（3）求复杂几何体的体积时，常用割补法和等体积法求解.
如图所示，在多面体 FEABCD 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，
且 △ADE，△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求该多面体的体积 V.
解：如图所示，分别过 A，B 作 EF 的垂线 AG，BH，垂足分别为 G，H.连接 DG，1
CH，容易求得 EG＝HF＝.
2
所以 AG＝GD＝BH＝HC＝
3， 2
122
S△AGD＝S△BHC＝××1＝，
224V＝VE-ADG＋VF-BHC＋VAGD-BHC 2112
＝?××?×2＋×1
4?324?＝2
. 3
球与其他几何体的组合问题
已知三棱锥S
ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三
角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为（ ）
A.C.2 62 3
B.D.3 62 2
【解析】 设△ABC外接圆的圆心为O1， 则OO1＝OC2－O1C2＝
161－＝. 33
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