解：根据麦克斯韦速率分布函数可得
?Nm3/2?2kT24v2?(vp)?v(分子的质量为m) ?4?()ev?v?()eN2?kTvp?vpmv2v2N1?N430002)ev?p(?(30002)vpN130002?(104?110?()e，,N2?NeNvvpv?2pp300030002)vp?e,
vp?2RT/Mmol?
N130002?(2183)2?()e?e?0.78, ?2183m/s，N22183?(mghkT)2．假定大气层各处温度相同均为T，空气的摩尔质量为Mmol，试根据玻尔兹曼分布律n?n0?e证明大气压强p与高度h(从海平面算起)的关系是h?压强减到地面的75%。
解：p?nkT?n0kTe?mgh/kT?p0e?mgh/kT,h? h?，
pRT?ln0。并求上升到什么高度处，大气的
MmolgpRTpln0(分子的质量为m)
MmolgpRTp0RT4ln?ln Mmolg0.75p0Mmolg33?．导体中自由电子的运动类似于气体分子的运动。设导体中共有N个自由电子。电子气中电子的最大速率?F叫做费米速率。电子的速率在?与?+d?之间的概率为：
?4??2AdV (?F???0)
dN??N?N? (???F)?0 式中A为归一化常量。（1）由归一化条件求A。（2）证明电子气中电子的平均动能
2?k?(m?F)?EF，此处EF叫做费米能。
33NdN3v2dvA4?v2Adv4?vF解：(1)?f(v)dv?1, ?,??1，A??3 3004?vFN3NNvFVF13VFv4dv3?12?32(2)?k??mvf(v)dv?m???mvF??EF 30220vF5?2?5315235?vF4．今测得温度为t1＝15℃，压强为p1＝0.76 m汞柱高时，氩分子和氖分子的平均自由程分别为：?Ar＝ 6.7×10?8 m和?Ne=13.2×10?8 m，求：
(1) 氖分子和氩分子有效直径之比dNe / dAr＝？
(2) 温度为t2＝20℃，压强为p2＝0.15 m汞柱高时，氩分子的平均自由程?Ar＝？
2?ArdNedNe?Ar6.7解：(1)??, ,????0.712 22?Ne13.22?dn?NedArdAr/1(2) ????ArT2p1293?0.76??5.15?Ar?3.45?10?7m ， ?Ar????5.152?d2p?Arp2T10.15?288kT,
?2?105．真空管的线度为 10m，其中真空度为1.33?10?3pa，设空气分子的有效直径为3?10（1）温度为27℃时单位体积内的空气分子数；（2）平均碰撞频率；（3）平均自由程。
m。求：
p1.33?10?3解：(1)n???3.21?1017个/m3,(2)v?8RT?8?8.31?300?467m/s， ?23kT1.38?10?300?Mmol3.142?0.0289z?2?d2vn?2?3.14?9?10?20?467?3.21?10?17?59.7s?1 ，(3)??v?z12?dn2?7.82m
5
练习 二十一 知识点：热力学第一定律及其应用、绝热过程 3p(atm)AB2一、选择题
1． 如图所示为一定量的理想气体的p—V图，由图可得出结论 ( C ) 1（A）ABC是等温过程； （B）TA>TB； o1（C）TA 解：(C)pAVA?pCVC?TA?TC;过A、C作等温线,B在过A、C的等温线之上。 CV(10?3m3)232． 一定量的理想气体，处在某一初始状态，现在要使它的温度经过一系列状态变化后回到初始状态的温度，可能实现的过程为 （ D） （A）先保持压强不变而使它的体积膨胀，接着保持体积不变而增大压强； （B）先保持压强不变而使它的体积减小，接着保持体积不变而减小压强； （C）先保持体积不变而使它的压强增大，接着保持压强不变而使它体积膨胀； （D）先保持体积不变而使它的压强减小，接着保持压强不变而使它体积膨胀。 解：(D)作等温线,由于末状态和初状态温度相同,状态变化过程的起点、终点应在同一等温线上。 3． 气体的摩尔定压热容Cp大于摩尔定体热容CV，其主要原因是 （ C ） （A）膨胀系数不同； （B）温度不同； （C）气体膨胀需作功； （D）分子引力不同。 解：(C)根据热力学第一定律可知,对等容过程QV??E;对等压过程Qp??E?A。 4． 压强、体积和温度都相同（常温条件）的氧气和氦气在等压过程中吸收了相等的热量，它们对外作的功之比为 （ C ） （A）1:1； （B）5:9； （C）5:7； （D）9:5。 解：(C)氧气为双原子分子, 氦气为单原子分子.由等压过程吸热和作功的表达式: AOQRMMR/(7RT/2)5Qp?Cp?T,A?p?V?R?T?A?p?2??。 MmolMmolAHeR/(5RT/2)7Cp5． 一摩尔单原子理想气体，从初态温度T1、压强p1、体积V1，准静态地等温压缩至体积V2，外界需作多少功？ （ B ） （A）RT1ln(V2/V1)；（B）RT1ln(V1/V2)；（C）p1(V2?V1)；（D）(p2V2? p1V1)。 解：(B)pV?MVVRT,A外???pdV??MRT1?1dV?MRT1lnV1 。 VVVMmolMmolMmolV22211pa6． 在p—V图上有两条曲线abc和adc，由此可以得出以下结论： b （D） d（A）其中一条是绝热线，另一条是等温线；（B）两个过程吸收的热量相同； cV（C）两个过程中系统对外作的功相等；（D）两个过程中系统的内能变化相同。 o解：(D)对于一定质量的气体,内能是温度的单值函数。 7． 1mol的单原子分子理想气体从状态A变为状态B，如果不知是什么气体，变化过程也不知道，但A、 pB两态的压强、体积和温度都知道，则可求出： （ D ） bp1(A) 气体所作的功； (B) 气体内能的变化； (C) 气体传给外界的热量； (D) 气体的质量。 解：(B) 对于一定质量的气体,内能是温度的单值函数。 cp0a二、填空题 V1． 一定量的理想气体从同一初态a(p0,V0)出发，分别经两个准静态过程ab和ac，boV0V1点的压强为p1，c点的体积为V1，如图所示，若两个过程中系统吸收的热量相同，则该气体的比热容比? =Cp/CV=_________________。 p解：Qab?MCV(Tb?Ta), Qac?MCp(Tc?Ta), cbMmolMmolCMpV?pV?p/p?1?pV?pV pV?RT, ?CV?10?00??Cp?01?00?,??p?10daMmolR?R?CVV1/V0?1?R?RoV2． 如图所示，一理想气体系统由状态a沿acb到达状态b，系统吸收热量350J， 而系统做功为130J。 （1）经过过程adb，系统对外做功40J，则系统吸收的热量Q=____________。 （2）当系统由状态b沿曲线ba返回状态a时，外界对系统做功为60J，则系统吸收的热量Q=________。 6 解：根据热力学第一定律求解:?Eab?Qacb?Aacb?350?130?220J, Qadb?Aadb??Eab?40?220?260J,Qba?Aba??Eba??60?220??280J 3?． 对下表所列的理想气体各过程，并参照下图，填表判断系统的内能增量?E，对外作功A和吸收热量Q的正负（用符号?，?，0表示）： p绝热线pA Q 过程 ?E acd等温线0 等体减压 ? ? 等压压缩 a? ? ? bbc+ 0 绝热膨胀 VV? oo图(a) a→b→c 0 ? ? 图(a)图(b)+ a→b→c ? ? 图(b) + + a→d→c ? 4．不规则地搅拌盛于绝热容器中的液体，液体温度在升高，若将液体看作系统，则： (1) 外界传给系统的热量_________零；(2) 外界对系统作的功__________零； (3) 系统的内能的增量___________零；（填大于、等于、小于） 解：等于零；大于零；大于零； 5．压强、体积和温度都相同的氢气和氦气(均视为刚性分子的理想气体)，它们的质量之比为m1∶m2 =__________，它们的内能之比为E1∶E2 =__________，如果它们分别在等压过程中吸收了相同的热量，则它们对外作功之比为A1∶A2 =__________。(各量下角标1表示氢气，2表示氦气) 解：pV?m1M1mol21miiEi5m???;E?RT?pV,1?1?; RT, m2M2mol42Mmol22E2i23MmolQpRmm,?A?A?p?V?R?TQp?Cp?TMmolCpMmol? AO2AHe?R/(7RT/2)5? R/(5RT/2)7三、计算题 1． 标准状态下的0.014kg氮气，压缩为原体积的一半，分别经过（1）等温过程，（2）绝热过程，（3）等压过程。试计算在这些过程中气体内能的改变、吸收的热量和对外界所作的功。 解：(1) 等温过程，内能不变， ?E?0 VM1吸收的热量和对外界所作的功Q?A?RTln2?0.5?8.31?273?ln??786J MMolV12?V1?T??1??1(2) 绝热过程，根据绝热方程2????2,T?2T1?360K, 2?T1?V?2?MM55内能的改变?E?CV?T?R?T?0.5??8.31?(360?273)?904J MMolMMol22吸收的热量Q?0, 对外界所作的功A???E??904J (3)等压过程 ??1V1V1V2?，T2?2T1?T1 T1T2V12MM55273CV?T?R?T?0.5??8.31?(?273)??1418J MMolMMol222MM273气体对外界所作的功为A?p?V?R?T?R?T?0.5?8.31?(?273)??565J MMolMMol2吸收的热量为 Q??E?A??198J3 内能增量?E? 7 2． 2 mol双原子分子理想气体从状态A(p1,V1)沿p ?V图所示直线变化到状态B(p2,V2)，试求： (1) 气体的内能增量；(2) 气体对外界所作的功；(3) 气体吸收的热量； p解：(1) 内能增量?E?MiR(T2?T1)?5(p2V2?p1V1) Mmol22Bp21A (2) 功等于直线AB下的面积A?(p2V2?p1V1) p12O (3) 根据热力学第一定律得 Q?A??E?3(p2V2?p1V1) V1 3．如果一定量的理想气体，其体积和压强依照V?a/p的规律变化， V2V 其中a为已知常量。试求： (1) 气体从体积V1膨胀到V2所作的功； (2) 气体体积为V1时的温度T1与 体积为V2时的温度T2之比。 解：A??V2V1pdV??V2V1TVa2Ma21?， 2?1,?1?2 ???pV??RTdV?a??VV?T2V1VMmolV22??1??14． 有单原子理想气体，若绝热压缩使其容积减半，问气体分子的平均速率变为原来的速率的几倍？若 为双原子理想气体，又为几倍？ 解：根据绝热方程T1V1??1?T2V2??1?V?T由题意知，2??1??T1??V2???12?2??1 v2T8RT?2?2根据平均速率公式v?得, v1T1?Mmol单原子?? i?27v2i?25v2?,?21/5?1.15 ?,?21/3?1.26;双原子??i5v1i3v15．温度为27℃、压强为1 atm的2 mol刚性双原子分子理想气体，经等温过程体积膨胀至原来的3倍。 (1) 计算这个过程中气体对外所作的功； (2) 假若气体经绝热过程体积膨胀为原来的3倍，那么气体对外作的功又是多少？ 解：(1) 等温过程中的功 A?MVRTln2?2?8.31?300?ln3?5478J MMolV1??1??1T2?V1?1???1?7/5?1?(2) 根据绝热方程得 ???,T?3T?3T1?0.644?300?193K 21??T1?V2?3 绝热过程 A??E?0 MM55A???E??CV?T??R?T??2??8.31?(193?300)?4446J MMolMMol226．气缸内有2 mol氦气，初始温度为27℃，体积为20 L(升)，先将氦气等压膨p胀，直至体积加倍，然后绝热膨涨，直至回复初温为止．把氦气视为理想气体。21试求：在p―V图上大致画出气体的状态变化过程； 绝热线3(2) 在这过程中氦气吸热多少？ 等温线(3) 氦气的内能变化多少？(4) 氦气所作的总功是多少？ OV解：(1) 如图 V1V2M5?，T2?2T1?600K,Q12?Cp(T2?T1)?2??8.31?300?12465J T1T2Mmol2绝热过程Q23?0, 因此Q?Q12?Q23?12465J (3) 因始末状态温度相同, ?E?0 J (4) 根据热力学第一定律Q??E?A得 A?Q?12456(2) 等压过程 8
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