第4章 开挖空间周围应力分布的理论解

《矿山压力与岩层控制》教案（第二版，王家臣，2007-12-20） 46

?r?r?d??d?r?r?d???rdr?d??d?r?dr?d???rrd? d?d?d???tdr?d?t?dr???t?dr??0222两边同除以（r?d?）

?drd??dr?tdr?d?dr?r?d?r?rdr?r??r?t?t??0

rr2r2r2r略去二阶微分项，并合并后： ?dr?d?r?rdr?t?0

rrr两边同乘以，则极限平衡方程为：

drd?rr??r??t?0 dr根据极限平衡条件（Mohr-columb准则），应力圆与强度曲线相切。

由上图的三角关系： ???r??r??t?sin??tCctg???? 22??1111sin??C?ctg???sin???r?sin??t??t??r

222211C?cos???r?sin??1???t?1?sin??

221?sin?2Ccos???r?∴?t?

1?sin?1?sin?上式代入极限平衡方程 d?r1?sin?2Ccos?r??r??r??0 通过通分、变换 dr1?sin?1?sin?C υ Ccotυ σr B C－极限平衡区内的内聚力和内摩擦角；?t、?r－极限平衡区内的切向应力与径向应力。

??C??tan?

τ A σt σ 《矿山压力与岩层控制》教案（第二版，王家臣，2007-12-20） 47

d?r2sin?dr??

?r?Cctg?1?sin?r两边同时积分：

ln??r?Cctg???2sin?lnr?lnA

1?sin?2sin?1?sin?where，A－积分常；

?r?C?ctg??Arr=r1时，?r?0 ∴A?Cctg?r因此，可得

2sin?1?sin?1

2sin????1?sin???r???????Cctg??1r????r1???????? ?2sin????1?sin??r?1?sin???????t?Cctg??1?1?sin???r1?????????

按以上两式可画出巷道围岩极限平衡区内的应力分布图，见23页图。 在极限平衡区的边界上，即半径为R的环上，应力状态既应满足上述推导，同时也应满足弹性应力状态。由静水压力下的弹性应力分布： ?r12??r??1??1?r2??

???r12??t??1??1?r2??

??则 ?t??r?2?1，令?1??H，则

2sin?2sin?????1?sin?1?sin?????1?sin?R??Cctg??R???Cctg??1?1??2?H ?????1?sin??r1????r1??????????解得，极限平衡区的半径为：

???H?Cctg???1?sin???R?r1??Cctg???

1?sin?2sin?

对于回采工作面前方的支承压力分析，可按下图建立极限平衡方程。取一小单元体。

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σydx

f－层面间的摩擦系数

m－采高。

则由平衡方程

m??x?d?x??m?x?2f??y?dx?0 由莫尔—库仑定律的极限分析得到

1?sin??r?Rc??x

1?sin?Rc－岩石单向抗压强度。

根据极限平衡区的条件， d?y1?sin?1?sin?∴??d?x??d?y d?x1?sin?1?sin?

平衡方程简化为：md?x?2f?ydx?0 将d?x代入平衡方程： 1?sin?m??d?y?2f?ydx?0 1?sin?d?y2f1?sin? dx?m1?sin??y∴ln?y?m mσx dx fσydx m(σx+dσx) fσydx 2f?x?1?sin?????A ?m?1?sin???当x=0时，?y?N0时，A?lnN0 N0－煤帮的支承能力。 所以：

?y?N0exp?

?2fx?1?sin?????1?? ???m?1?sin??? 在极限平衡边界以外的切向应力，仍符合弹性状态解。据此可将回采工作面前方的支承压力分布绘成下图。

C γH σr E B D A σt KγH K—支承压力峰值系数 《矿山压力与岩层控制》教案（第二版，王家臣，2007-12-20） 49

其中：

A:减压区??t??H?;??B:增压区??t??H??按?t大小分 C:稳压区??t??H???D:极限平衡区? ?按煤体的力学性状分。E:弹性区?支承压力区随工作面推进向前移动，其大小和顶板活动也有关系。