泛函分析习题参考标准答案

一d(x,y)、设证明：显然

为空间

~d(y,x)也是X上的距离。 X上的距离，试证：d(y,x)?1?d(y,x)~~d(x,y)?0,并且d(x,y)?0?d(x,y)?0?x?y。

再者，

~~d(y,x)d(x,y)d(y,x)???d(x,y)；

1?d(y,x)1?d(x,y)最后，由

t1的单调增加性及d(x,y)?d(x,z)?d(z,y)，可得 ?1?1?t1?t~d(x,y)d(x,z)?d(z,y)d(x,z)d(z,y)d(x,y)????1?d(x,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)

?~~d(x,z)d(z,y)??d(x,z)?d(z,y)。

1?d(x,z)1?d(z,y)、设

二

p?1，xn?(?1(n),?,?i(n),)?lp，n?1,2,?，x?(?1,1p,?i,)?lp，则

n??时，

p??d(xn,x)????i(n)??i??0的充要条件为(1)n??时，?i(n)??i，i?1,2,?i?1?；

(2)???0，

存在

N?0，使得

i?N?1???i(n)??对任何自然数n成立。

?1p??(n)(n)???必要性证明：由d(x,x)?ni??i??0可知，?i??i，i?1,2,?i?1?p由

p。

x?(?1,,?i,)?lp可知，

???0，存在

N1?0，使得

i?N1?1p?(n)????ii?()p。 ?i?1???p?i?()p2，并且

n?N1时，

2p由此可得，

i?N1?1???i(n)pp????????pp?????i(n)??i?????i????p对n?N1成立。

??i?N1?1??i?N1?1????11p对于

n?1,2,N1，存在N2?0，

i?N2?1???i(n)??pp。取

N?max?N1,N2?，则

i?N?1???(n)pi??p对任何自然数n成立。

充分性证明：由条件可知，

???0，存在K?0，使得

i?K?1???K(n)pi?()2??ip?p对任何自然数

n成立，并且

i?K?1???p?i?()p。

2由

?(n)i??i可知，存在N?0，使得n?N时，??i?1(n)i??p，并且

d(xn,x)???pi?1?(n)i??ip???i?1K(n)i??i?pi?K?1p???i(n)??ip

???i(n)??ii?1Kp???(n)p1pp1p???(??i)?(??i)??2?p。

i?K?1?i?K?1?三Lp[a,b](p?1)、在极限意义下，

上定义距离：

d(x,y)???bax(t)?y(t)dtp?1p，则在此距离诱导的

xn(t)收敛于x(t)的充要条件为(1)xn(t)依测度收敛于x(t)；(2)?xn(t)?在[a,b]上具有等度绝对连续的积分。

必要性证明：由

?（xn,x)?0，可得???0，?xn(t)?x(t)dt?EpE(xn?x??)?xn?xdt

p??p?m(E(xn?x??)，n?1,2,?，令n??，可得m(E(xn?x??)?0。即xn(t)依测度收敛于

x(t)。

由

x(t)的积分绝对连续性可知，对任何??0，存在?1?0，使得e?E，me??1时，(?x(t)dt)?ep1p?2。对上述

??0，存在

（?xn(t)?x(t)dt）?N?0，使得n?N时，

E1p1p1pp1p?2，

从而

?xenn(t)dt)?(?xn?xdt)?(?xdt)?(?xn?xdt)?(?xdt)??eeEe1ppppp1pp1p，

即

?xe对于

(t)dt)??p，对

n?N,N?1,?，成立。

p（n?1,2,?,N，易知存在?2?0，使e?E，me??2时，

?xn(t)dt??）。

e取

??min(?1,?2)，则

e?E，me??时，?xn(t)dt)??ep1p，对每个自然数

n成立。

即

?xn(t)?在

[a,b]上具有等度绝对连续的积分。

充分性证明：对任何

??0，令

En(?)?E(xn?x??)，则mEn(?)?0。由此可知，对任何??0，存在N?0，使得

n?N时，mEn(?)??。

令

Fn(?)?E(xn?x??)，则?p(xn,x)?pEn?xn?xdt?pFn?xn?xdt。此时，

p11??pppppxn?xdt??(?xndt)?(?xdt)????EnEn?En?，

Fn?xn?xdt?(b?a)??p。

p由积分的等度绝对连续性可知，对任何

??0，存在

??0p，使得

e?E，me??时，

?e对上述

xn(t)dt)?1p?2，

?ex(t)dt)?pp1p?2。

??0，存在

（?xn?xdt）??N?0，使得n?N时，mEn(?)??，此时

Enp。

于是对任何

??0，存在

N?0，使得n?N时，d(xn,x)?(1?b?a)??，

1p即

xn(t)收敛于x(t)。

、

是距离空间

四F

X中闭集的充分必要条件为对任何F中点列?xn?，xn?x?X，必有x?F。

中点列

必要性证明：对于

F

?xn?，

xn?x?X，若

x?F，则x?Fc，即x为开集Fc的内点，从而存在??0，使得

O(x,?)?Fc。由xn?x可知，存在N?0，使得xN?O(x,?)?Fc，这与xN?F矛盾。因而有x?F。

充分性证明：对于

F中互异点列?xn?，若xn?x?X，则x?F，即F的聚点在F中。因此，对于任意x?Fc，x必不是F的聚点，从

，使得

而存在

??0O(x,?)?Fc，因而 Fc为开集，即F为闭集。

?，On,?包含B，并且 X中闭集，试证必有一列开集O1，O2，五B、设

是度量空间

B??On。

n?1?1证明：任取?,n?1,2,?，令On???n(x)，则B?On，并且On为开集(n?1,2,?)。任取x??Onn?nx?Bn?1?1则存在x(n?1,2,?)，从而xn?x。由于B为闭集，因而x?B，即有B??On。

n?B，使得d(xn,x)?nn?1，

?六X、设

为距离空间，

F1，F2为X中不相交的闭集，试证：存在开集G1，G2，使得

G1?G2??，G1?F1，G2?F2。

证明：由

令

F1?F2??，得?x1?F1，d(x1,F2)?0，?x2?F2,d(x2,F1)?0。

d(x1,F2)d(x2,F1)?1?,?2??1(x1),G2???2(x2),则G1，G2，G??122x1?F1x2?F2分别为包含

F1，F2的开集。

假设x?G?G，则d(x,x)??,d(x,x)??,x?F,x?F，但是

012011022112d(x1,x2)?d(x1,x0)?d(x0,x2)?G1?G2??。

d(x1,F2)d(x2,F1)??d(x1,x2)是一个错误，故而

22七

、试证：

l?是不可分的距离空间。