第03讲 基本不等式
一、 考情分析
a＋b
1. 掌握均值不等式ab≤2(a，b≥0)和基本不等式的性质； 2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.
3.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；
4.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集； 5.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
二、 知识梳理
1.不等式的性质
(1)对称性：a＞b?b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c；
(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；
nn(6)可开方：a＞b＞0?a＞b(n∈N，n≥2).
a＋b
2.均值不等式：ab≤2
(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
a＋b(3)其中2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数. 3.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. ?a＋b?
?(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤?
?2?
2
4.利用均值不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小). s2
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是4(简记：和定积最大). 5.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式. 6.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 有两相异实根x1，有两相等实根x1＝bx2(x1＜x2) x2＝－2a {x|x＞x2 或x＜x1}{x|x1＜x＜x2} ?b??x|x≠－? 2a??没有实数根 R ? ? 7.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式 (x－a)·(x－b)>0 (x－a)·(x－b)<0 8.分式不等式与整式不等式 f(x)
(1)g(x)>0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0). f(x)
(2)g(x)≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. [方法技巧] 1.有关分数的性质
解集 ab} {x|a (1)若a>b>0，m>0，则a<；>(b－m>0). a＋maa－m11 (2)若ab>0，且a>b?a 2.a＋b≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号. a＋b 3.11≤ab≤2≤a＋b2 a2＋b2 2(a>0，b>0). 4.连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x| 5.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形. 6.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. ?a＝b＝0，?a>0， (1)不等式ax＋bx＋c>0对任意实数x恒成立??或? ?c>0?Δ<0. 2 ?a＝b＝0，?a<0， (2)不等式ax＋bx＋c<0对任意实数x恒成立??或? ?c<0?Δ<0. 2 三、 经典例题 考点一 不等式的性质 【例1】 (1)已知a，b，c满足c B.c(b－a)<0 D.ac(a－c)>0 111111 (2)(一题多解)若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.其中正 ababa＋bab确的不等式是( ) A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 【解析】(1)由c 11 (2)法一 因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2. ab 显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D. 111111 法二 由＜＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即①正 ababa＋ba＋bab确； ②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误； 1111 ③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0， abab11 所以a－＞b－，故③正确； ab ④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确. 规律方法 解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证； (2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断. 考点二 利用均值不等式 【例2-1】（2020·咸阳市教育教学研究室高三一模（文））已知（ ） A．10 【答案】C 【解析】 B．9 C．8 D．7 12??1(x?0,y?0)，则2x?y的最小值为xyx120，y?0且??1， xy则2x?y??2x?y???12?4xy4xy???4???4?2??8， xyyxyx??当且仅当y?2x时，等号成立，因此，2x?y的最小值为8. 故选：C. 【例2-2】（2020·天津高三其他）已知函数f(x)?1mcos2x?(m?2)sinx，其中1?m?2，若函数f?x?的2最大值记为g?m?，则g?m?的最小值为（ ） A．?1 4B．1 C．?3 D．3?1 【答案】D 1mm(1?2sin2x)?(m?2)sinx??msin2x?(m?2)sinx?， 22m2令sinx?t?[?1,1]，则y??mt?(m?2)t?，因为1?m?2， 22?m111???[0,]，所以 所以对称轴为t?2mm22【解析】由已知，f(x)?g?m??yt?1?1m22m2?(m?2)23131??m??1?2m??1?3?1，当且仅当 4m4m4mm?23时，等号成立. 3故选：D 【例2-3】（2020·湖南省雅礼中学高三月考（理））已知ABC外接圆的半径R?2，且23cos则ABC周长的取值范围为（ ） A．(23,4] 【答案】C 【解析】由题意，2cos2B．(4,43] C．(43,4?23] D．(4?23,63] 2A?sinA.2A33?1?sinA?1，即cosA?sinA??1，可化为 233???????323sin?A???3，即sin?A??， ，因为，所以0?A??A????3?33?32??即A?2?，a?2RsinA?23，设ABC的内角A，B，C，的对边分别为a，b， 3c，由余弦定理得，12?b2?c2?bc，因为b2?c2?2bc（当且仅当b?c时取“=”），所 以12?b2?c2?bc?3bc，即bc?4，又因为12?b?c?bc?(b?c)?bc，所以 222bc?(b?c)2?12?4，故b?c?4，则a?b?c?4?23，又因为b?c?a，所以 a?b?c?2a?43，即43?a?b?c≤4?23.故ABC周长的取值范围为
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