第三章 导数及其应用 第2讲 导数的应用 第1课时 利用导数研究
函数的单调性试题 理 北师大版
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.函数f(x)＝xln x，则( ) A.在(0，＋∞)上递增
B.在(0，＋∞)上递减
?1??1?C.在?0，?上递增 D.在?0，?上递减 ?e??e?
1
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，令f′(x)>0得x>，令f′(x)<0
e1
得0 e答案 D 2.下面为函数y＝xsin x＋cos x的递增区间的是( ) ?π3π?A.?，? 2??2 C.? B.(π，2π) D.(2π，3π) ?3π，5π? 2??2? 解析 y′＝(xsin x＋cos x)′＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，当x∈?恒有xcos x>0. 答案 C ?3π，5π?时， 2??2? 13 3.已知函数f(x)＝x＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的( ) 2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 32 解析 f′(x)＝x＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R上单调 2递增”的充分不必要条件. 答案 A 4.已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是( ) 1 解析 由y＝f′(x)的图像知，y＝f(x)在[－1，1]上为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢. 答案 B 12 5.设函数f(x)＝x－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( ) 2A.(1，2] C.[－∞，2) B.(4，＋∞] D.(0，3] 129 解析 ∵f(x)＝x－9ln x，∴f′(x)＝x－(x>0)， 2x9 当x－≤0时，有0 x即在(0，3]上原函数是减函数，则[a－1，a＋1]?(0，3]， ∴a－1>0且a＋1≤3，解得1 e 6.函数f(x)＝的单调递增区间为________. xxe（x－1） 解析 函数的定义域为{x|x≠0}，且f′(x)＝，令f′(x)>0得x>1. 2 xx答案 (1，＋∞) 7.已知a≥0，函数f(x)＝(x－2ax)e，若f(x)在[－1，1]上是单调减函数，则实数a的取值范围是________. 解析 f′(x)＝(2x－2a)e＋(x－2ax)e ＝[x＋(2－2a)x－2a]e， 由题意当x∈[－1，1]时，f′(x)≤0恒成立， 即x＋(2－2a)x－2a≤0在x∈[－1，1]时恒成立. 令g(x)＝x＋(2－2a)x－2a， 2 22 2 xx2xx 2 ??g（－1）≤0，则有? ?g（1）≤0，? ?（－1）＋（2－2a）·（－1）－2a≤0，?3即?2解得a≥. 4??1＋2－2a－2a≤0， 2 ?3?答案 ?，＋∞? ?4? 1312?2?8.(2017·合肥模拟)若函数f(x)＝－x＋x＋2ax在?，＋∞?上存在单调递增区间，则 32?3?实数a的取值范围是________. ?1?1 解析 对f(x)求导，得f′(x)＝－x＋x＋2a＝－?x－?＋＋2a. ?2?4 2 2 ?2?当x∈?，＋∞?时， ?3? f′(x)的最大值为f′??＝＋2a. 3 21令＋2a>0，解得a>－. 99 ?2?2 ??9 ?1?所以实数a的取值范围是?－，＋∞?. ?9??1?答案 ?－，＋∞? ?9? 三、解答题 9.(2016·北京卷)设函数f(x)＝xe＝(e－1)x＋4. (1)求a，b的值； (2)求f(x)的单调区间. 解 (1)∵f(x)＝xe a－xa－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＋bx，∴f′(x)＝(1－x)e a－2 a－x＋b. ?f（2）＝2e＋2，?2e＋2b＝2e＋2，?? 由题意得?即?a－2 ??f′（2）＝e－1，－e＋b＝e－1，?? 解得a＝2，b＝e. (2)由(1)得f(x)＝xe由f′(x)＝e 2－x2－x＋ex， x－1 (1－x＋e x－1 )及e 2－x>0知，f′(x)与1－x＋e x－1 x－1 同号. 令g(x)＝1－x＋e，则g′(x)＝－1＋e. 当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在(－∞，1)上递减； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上递增， ∴g(x)≥g(1)＝1在R上恒成立， 3 ∴f′(x)>0在R上恒成立. ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞). 13a2 10.设函数f(x)＝x－x＋1. 32 (1)若a>0，求函数f(x)的单调区间； (2)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围. 解 (1)由已知得，f′(x)＝x2 －ax＝x(x－a)(a>0)， 当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0； 当x∈(0，a)时，f′(x)<0； 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)， 单调递减区间为(0，a). (2)g′(x)＝x2 －ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)， 使不等式g′(x)＝x2 －ax＋2<0成立， 即x∈(－2，－1)时，a x＋x???max ＝－22， 当且仅当x＝2 x即x＝－2时等号成立. 所以满足要求的实数a的取值范围是(－∞，－22). 能力提升题组 (建议用时：20分钟) 11.(2017·承德调考)已知f(x)是可导的函数，且f′(x) f(0) B.f(1)>ef(0)，f(2 017)>e2 017 f(0) C.f(1)>ef(0)，f(2 017) f(0) D.f(1) f(0) 解析 令g(x)＝f（x） e x， 则g′(x)＝??f（x）?ex??f′（x）ex－f（x）（ex）′f?′＝e2x＝′（x）－f（x）ex<0， 所以函数g(x)＝f（x） e x在R上是单调减函数， 所以g(1) f（1）f（0）f（2 017）f（0） e 1< 1 ， e 2 017<1 ， ) 4
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