2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第2讲导数的应用第1课时利用导数研究函数的单调性试题理

故f(1)

2 017

f(0).

1

12.(2016·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则

3

a的取值范围是( )

A.[－1，1]

1??B.?－1，? 3??

1??D.?－1，－? 3??

?11?C.?－，?

?33?

1

解析 ∵f(x)＝x－sin 2x＋asin x，

3

2425

∴f′(x)＝1－cos 2x＋acos x＝－cosx＋acos x＋.

333由f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立. 425

令t＝cos x，t∈[－1，1]，则－t＋at＋≥0，

33在t∈[－1，1]上恒成立.

∴4t－3at－5≤0在t∈[－1，1]上恒成立. 令g(t)＝4t－3at－5，

??g（1）＝－3a－1≤0，11

则?解之得－≤a≤. 33??g（－1）＝3a－1≤0.

2

2

答案 C

12

13.已知函数f(x)＝－x＋4x－3ln x在区间[t，t＋1]上不单调，则实数t的取值范围是

2________.

3（x－1）（x－3）

解析 由题意知f′(x)＝－x＋4－＝－，由f′(x)＝0得函数f(x)的

xx两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1

14.已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数y＝f(x)的图像在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x＋x·?f′（x）＋?在区间(t，3)上总不是单调函数，求实数m的取

2??值范围.

解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

5

3

2

?

m?

且f′(x)＝

a（1－x）

x， 当a>0时，f(x)的增区间为(0，1)， 减区间为(1，＋∞)；

当a<0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0，1)； 当a＝0时，f(x)不是单调函数.

(2)由(1)及题意得f′(2)＝－a2＝1，即a＝－2，

∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝2x－2

x. ∴g(x)＝x3

＋??m?2＋2??2?

x－2x，

∴g′(x)＝3x2

＋(m＋4)x－2.

∵g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数， 即g′(x)＝0在区间(t，3)上有变号零点.

由于g′(0)＝－2，∴???g′（t）<0，

??

g′（3）>0.

当g′(t)<0，

即3t2

＋(m＋4)t－2<0对任意t∈[1，2]恒成立， 由于g′(0)<0，故只要g′(1)<0且g′(2)<0， 即m<－5且m<－9，即m<－9； 由g′(3)>0，即m>－37

3，

所以－37

3

即实数m的取值范围是??37?－3，－9???

. 6