2014-2019年高考数学真题分类汇编 专题7：数列（基础解答题）
1．（2014?新课标Ⅱ理）已知数列{an}满足a1?1，an?1?3an?1． 1（Ⅰ）证明{an?}是等比数列，并求{an}的通项公式；
21113（Ⅱ）证明：?????．
a1a2an2【考点】等比数列的性质；数列的求和
【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即等比数列；
再根据等比数列的通项化式，求出{an}的通项公式； （Ⅱ）将
1进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式． anbn?1?常数，又首项不为0，所以为bn1113an?1?3(an?)2?2?2?3， 【解答】证明（Ⅰ）
111an?an?an?222an?1?a1?13??0， 22123，公比为3的等比数列； 2?数列{an?}是以首项为
13n?13n3n?1； ?an???3?，即an?222212（Ⅱ）由（Ⅰ）知?n，
an3?12时，3n?1?3n?3n?1，?当n…?当n?1时，
1221， ?n?n?n?1n?1an3?13?3313?1?成立， a1211?()n1111113?3(1?1)?3． 2时，?????1??2???n?1?当n…1a1a2an33323n21?3?对n?N?时，
1113?????． a1a2an2【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，
通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．
2．（2014?新课标Ⅰ文）已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2?5x?6?0的根． （1）求{an}的通项公式； （2）求数列{an}的前n项和． 2n【考点】等差数列的通项公式；数列的求和
【分析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出a2，a4的值，从而解出通项； （2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．
【解答】解：（1）方程x2?5x?6?0的根为2，3．又{an}是递增的等差数列， 故a2?2，a4?3，可得2d?1，d?故an?2?(n?2)?（2）设数列{Sn?11?n?1， 221， 2an}的前n项和为Sn， 2nan?1ana1a2a3??????，① 2122232n?12nan?1anaa2a31Sn?1??????n?1，② 234n222222311(1?n?1)aana111112?1?42??①?②得Sn?1?d(2?3?4???n)?nn， n?112222222?12221?2解得Sn?311n?2n?4?(1?n?1)?n?1?2?n?1． 22222【点评】本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查的主要方式．
3．（2014?新课标Ⅰ理）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1?1，an?0，anan?1??Sn?1，其中?为常数． （Ⅰ）证明：an?2?an??（Ⅱ）是否存在?，使得{an}为等差数列？并说明理由． 【考点】等差数列的性质；数列递推式
【分析】（Ⅰ）利用anan?1??Sn?1，an?1an?2??Sn?1?1，相减即可得出；
（Ⅱ）假设存在?，使得{an}为等差数列，设公差为d．可得??an?2?an?(an?2?an?1)?(an?1?an)?2d，???0?，解得?即n2?(??)n?2?，根据{an}为等差数列的充要条件是??d?．得到?Sn?44222??0??2??2?2?可．
【解答】（Ⅰ）证明：anan?1??Sn?1，an?1an?2??Sn?1?1，
?an?1(an?2?an)??an?1 an?1?0，?an?2?an??．
（Ⅱ）解：假设存在?，使得{an}为等差数列，设公差为d． 则??an?2?an?(an?2?an?1)?(an?1?an)?2d，
?d??2．?an?1??(n?1)2，an?1?1??n2，
??Sn?1?[1??(n?1)2][1??n2]??24n?(??2?24)n?2??2，
???0?根据{an}为等差数列的充要条件是?，解得??4． ?2??0??2此时可得Sn?n2，an?2n?1． 因此存在??4，使得{an}为等差数列．
【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题． 4．（2014?大纲版文）数列{an}满足a1?1，a2?2，an?2?2an?1?an?2． （Ⅰ）设bn?an?1?an，证明{bn}是等差数列；（Ⅱ）求{an}的通项公式． 【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式；数列递推式
【分析】（Ⅰ）将an?2?2an?1?an?2变形为：an?2?an?1?an?1?an?2，再由条件得bn?1?bn?2，根据条件求出b1，由等差数列的定义证明{bn}是等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出bn，代入bn?an?1?an并令n从1开始取值，依次得(n?1)个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式求出{an}的通项公式an． 【解答】解：（Ⅰ）由an?2?2an?1?an?2得， an?2?an?1?an?1?an?2，
由bn?an?1?an得，bn?1?bn?2，即bn?1?bn?2， 又b1?a2?a1?1，
所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn?1?2(n?1)?2n?1， 由bn?an?1?an得，an?1?an?2n?1，
则a2?a1?1，a3?a2?3，a4?a3?5，?，an?an?1?2(n?1)?1， 所以，an?a1?1?3?5???2(n?1)?1 ?(n?1)(1?2n?3)?(n?1)2，
2又a1?1，
所以{an}的通项公式an?(n?1)2?1?n2?2n?2．
【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．
5．（2014?大纲版理）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1?13，a2为整数，且Sn?S4． （1）求{an}的通项公式；（2）设bn?【考点】数列的求和
【分析】（1）通过Sn?S4得a4…0，a5?0，利用a1?13、a2为整数可得d??4，进而可得结论； 111（2）通过an?13?3n，分离分母可得bn?(?)，并项相加即可．
313?3n10?3n1，求数列{bn}的前n项和Tn． anan?1【解答】解：（1）在等差数列{an}中，由Sn?S4得： a4…0，a5?0，
又a1?13，
0?13?3d…1313??，解得?剟d?，
34?13?4d?0a2为整数，?d??4，?{an}的通项为：an?17?4n；
（2）an?17?4n， ?bn?11111???(?)， anan?1(17?4n)(21?4n)44n?174n?21于是Tn?b1?b2????bn
n1111111111． ??[(?)?(?)????(?)]??(?)?17(17?4n)4?13?17?9?134n?174n?2144n?17?17【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题．
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