6．（2014?北京文）已知{an}是等差数列，满足a1?3，a4?12，数列{bn}满足b1?4，b4?20，且{bn?an}为等比数列．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和． 【考点】数列的求和
【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论； （2）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列的和． 【解答】解：（1）{an}是等差数列，满足a1?3，a4?12， ?3?3d?12，解得d?3， ?an?3?(n?1)?3?3n．
设等比数列{bn?an}的公比为q，则 q3?b4?a420?12??8，?q?2， b1?a14?3?bn?an?(b1?a1)qn?1?2n?1，?bn?3n?2n?1(n?1，2，?)． （2）由（1）知bn?3n?2n?1(n?1，2，?)． 3数列{an}的前n项和为n(n?1)，
21?2n数列{2}的前n项和为1??2n?1，
1?23?数列{bn}的前n项和为n(n?1)?2n?1．
2n?1【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．
7．（2014?安徽文）数列{an}满足a1?1，nan?1?(n?1)an?n(n?1)，n?N*． a（Ⅰ）证明：数列{n}是等差数列；
n（Ⅱ）设bn?3nan，求数列{bn}的前n项和Sn．
【考点】等比数列的性质；数列的求和
【分析】（Ⅰ）将nan?1?(n?1)an?n(n?1)的两边同除以n(n?1)得（Ⅱ）由（Ⅰ）求出bn?3nan?1an ??1，由等差数列的定义得证．
n?1nan?n3n，利用错位相减求出数列{bn}的前n项和Sn．
【解答】证明（Ⅰ）nan?1?(n?1)an?n(n?1)，
?an?1anaa??1，?n?1?n?1， n?1nn?1nan}是以1为首项，以1为公差的等差数列； nan2?1?(n?1)1?n，?an?n， n?数列{（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn?3nan?n3n，
?Sn?1?3?2?32?3?33???(n?1)3n?1?n3n①
3Sn?1?32?2?33?3?34???(n?1)3n?n3n?1② ①?②得?2Sn?3?32?33???3n?n3n?1
3?3n?11?2nn?13??n3n?1?3? 1?3222n?1n?13?Sn?3?
44【点评】本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法．求和的关键是求出通项选方法．
8．（2014?福建文）在等比数列{an}中，a2?3，a5?81． （Ⅰ）求an；（Ⅱ）设bn?log3an，求数列{bn}的前n项和Sn． 【考点】等差数列与等比数列的综合
【分析】（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的an代入bn?log3an，得到数列{bn}的通项公式，由此得到数列{bn}是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式得答案． 【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q， 由a2?3，a5?81，得
?a1q?3?a1?1，解得．?an?3n?1； ?4??q?3?a1q?81（Ⅱ）
an?3n?1，bn?log3an，?bn?log33n?1?n?1．
则数列{bn}的首项为b1?0， 由bn?bn?1?n?1?(n?2)?1(n…2)， 可知数列{bn}是以1为公差的等差数列．
?Sn?nb1?n(n?1)dn(n?1)． ?22【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，是基础的计算题． 9．（2014?湖北文）已知等差数列{an}满足：a1?2，且a1，a2，a5成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn?60n?800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
【考点】等差数列的性质；数列的求和
【分析】（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得． （Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出Sn根据Sn?60n?800，解不等式根据不等式的解集来判断． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意，2，2?d，2?4d成比数列，故有(2?d)2?2(2?4d)， 化简得d2?4d?0，解得d?0或4， 当d?0时，an?2，
当d?4时，an?2?(n?1)4?4n?2．
（Ⅱ）当an?2时，Sn?2n，显然2n?60n?800， 此时不存在正整数n，使得Sn?60n?800成立， 当an?4n?2时，Sn?n[2?(4n?2)]?2n2，
2令2n2?60n?800，即n2?30n?400?0， 解得n?40，或n??10（舍去），
此时存在正整数n，使得Sn?60n?800成立，n的最小值为41， 综上，当an?2时，不存在满足题意的正整数n， 当an?4n?2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41
【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．
n2?n10．（2014?湖南文）已知数列{an}的前n项和Sn?，n?N*．
2（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn?2an?(?1)nan，求数列{bn}的前2n项和． 【考点】数列的求和；数列递推式
【分析】（Ⅰ）利用公式法即可求得； （Ⅱ）利用数列分组求和即可得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）当n?1时，a1?s1?1，
n2?n(n?1)2?(n?1)当n…2时，an?sn?sn?1???n，
22?数列{an}的通项公式是an?n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn?2n?(?1)nn，记数列{bn}的前2n项和为T2n，则
T2n?(21?22???22n)?(?1?2?3?4???2n)
2(1?22n)??n?22n?1?n?2．
1?2?数列{bn}的前2n项和为22n?1?n?2．
【点评】本题主要考查数列通项公式的求法?公式法及数列求和的方法?分组求和法，考查学生的运算能力，属中档题．
3n2?n11．（2014?江西文）已知数列{an}的前n项和Sn?，n?N*．
2（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对任意的n?1，都存在m?N*，使得a1，an，am成等比数列． 【考点】等比数列的性质；数列递推式
【分析】（1）利用“当n…2时，an?Sn?Sn?1；当n?1时，a1?S1”即可得出；
2?a1am，（2）对任意的n?1，假设都存在m?N*，使得a1，an，am成等比数列．利用等比数列的定义可得an即(3n?2)2?1?(3m?2)，解出m为正整数即可．
3n2?n【解答】（1）解：Sn?，n?N*．
23n2?n3(n?1)2?(n?1)?当n…2时，an?Sn?Sn?1???3n?2，(*)
223?12?1当n?1时，a1?S1??1．
2因此当n?1时，(*)也成立．
?数列{an}的通项公式an?3n?2．
（2）证明：对任意的n?1，假设都存在m?N*，使得a1，an，am成等比数列．
2?a1am， 则an
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