23．如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB中点，连接CE、CD，求证：CD=2EC．
（第23题图）
24．已知如图：在梯形ABCD中，AB∥DC，点E、F分别是两腰AD、BC的中点． 证明：（1）EF∥AB∥DC； （2）EF=（AB+DC）．
（第24题图）
参考答案
一．1．D 2．C 3．C 4．C 5．D 6．D 7．A 8．B 9．C 10．D 二．11． AE=CF、∠AEB=∠CFD或∠ABE=CDF 12．15 13．AB=DC或AD∥BC 14．AE=FC或∠ABE=∠CDF 15．BE=DF或BF=DE或∠BAE=∠DCF 16．（1）4， （2）9 17．35 18．2
三．19．（1）证明：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形， ∴AB=CD=4，∠ABC=∠DCE=60°， ∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形． 又AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形， ∴∠DCE=∠CDE=60°，BC=CD=4． ∴∠BDC=∠CBD=30°． ∴∠BDE=90°． ∴BD==4．
20．解：结论均是PA+PC=PB+PD．
（1）如答图2，过点P作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，
（第20题答图）
∴四边形ABNM和四边形NCDM均为矩形， 根据（1）中的结论可得，
在矩形ABNM中有PA+PN=PB+PM，在矩形NCDM中有PC+PM=PD+PN， 两式相加，得PA+PN+PC+PM=PB+PM+PD+PN， ∴PA+PC=PB+PD．
（2）如图3，过点P作MN∥AB，交AB的延长线于点M，交CD的延长线于点N， ∴四边形BCNM和四边形ADNM均为矩形， 同样根据（1）中的结论可得，
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在矩形BCNM中有PC+PM=PB+PN，在矩形ADNM中有PA+PN=PD+PM， 两式相加得PA+PN+PC+PM=PD+PM+PB+PN， ∴PA+PC=PB+PD．
21．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD， ∵AF=BP=CQ=DE， ∴DF=CE=BQ=AP，
在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中， ，
∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS）， ∴EF=FP=PQ=QE； （2）∵EF=FP=PQ=QE， ∴四边形EFPQ是菱形， ∵△APF≌△BQP， ∴∠AFP=∠BPQ， ∵∠AFP+∠APF=90°， ∴∠APF+∠BPQ=90°， ∴∠FPQ=90°，
∴四边形EFPQ是正方形． 22．证明：如答图，连接DF．
∵四边形ABCD是平行四边形，F为?ABCD的边BC的延长线上的一点， ∴点O是AC的中点，AD∥BC，且AD=BC， 又∵CF=BC， ∴AD∥CF，AD=CF，
∴四边形ACFD是平行四边形， ∴点E是CD的中点， ∴OE是△ACF的中位线， ∴CF=2OE．
（第22题答图）
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23．证明：取AC的中点F，连接BF. ∵AB=AC，点E，F分别是AB，AC的中点， ∴AE=AF.
∵∠A=∠A，AB=AC， ∴△ABF≌△ACE（SAS）， ∴BF=CE. ∵BD=AB，AF=CF， ∴DC=2BF， ∴DC=2CE．
（第23题答图）
24．解：连接AF并延长交BC于点G． ∵AD∥BC ∴∠DAF=∠G. 在△ADF和△GCF中，
∴△ADF≌△GCF， ∴AF=FG，AD=CG． 又∵AE=EB， ∴EF∥BG，EF=BG，
即EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．
（第24题答图）
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