第二节 函数的单调性与最值
[最新考纲] 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数 减函数 在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A 定 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那义 么就说函数f(x)在区间A上是增加么就说函数f(x)在区间A上是减少的 的 图 像 描 述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或减少的，那么称A为单调区间． 2．函数的最值
前提 函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 (1)对于任意的x∈D，都有(3)对于任意的x∈D，都有f(x)≤M； f(x)≥M； 条件 (2)存在x0∈D，使得 (4)存在x0∈D，使得 f(x0)＝M f(x0)＝M M为函数y＝f(x)的最大值，记作M为函数y＝f(x)的最小值，记作结论 ymax＝f(x0) ymin＝f(x0) [常用结论] 1．函数单调性的结论 (1)对任意x2
1，x2∈D(x1≠xx1－fx2)，
fx＞0?f(x)在D上是增函数；
1－x2
fx1－fx2
x＜0?f(x)在D上是减函数．
1－x2
1
(2)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为[－a，0)和(0，a]．
(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． 2．函数最值存在的2个结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )
axx(2)若定义在R上的函数f(x)有f(－1)＜f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．( ) (3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材改编
1．函数y＝x－6x＋10在区间(2,4)上( ) A．递减 C．先递减后递增
2
2
B．递增 D．先递增后递减
C [因为函数y＝x－6x＋10的图像为抛物线，且开口向上，对称轴为直线x＝3，所以函数y＝x－6x＋10在(2,3)上为减函数，在(3,4)上为增函数．]
2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A．y＝|x| 1C．y＝ B．y＝3－x D．y＝－x＋4
2
2
x12
A [y＝3－x在R上递减，y＝在(0，＋∞)上递减，y＝－x＋4在(0，＋∞)上递减，
x故选A.]
3．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．
?－∞，－1? [因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0， ?2???
1即k＜－.]
24．已知函数f(x)＝
2
，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________． x－1
2
222 [易知函数f(x)＝在x∈[2,6]上为减函数，故f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝5x－1
f(6)＝.]
25
考点1 确定函数的单调性(区间)
确定函数单调性的4种方法
(1)定义法：利用定义判断．
(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图像法：由图像确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图像不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．
求函数的单调区间
(1)函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是( )
?3?A．?，＋∞?
?2??3?C．(－∞，1]和?，2?
?2?
2
?3?B．?1，?和[2，＋∞) ?2?
3??D．?－∞，?和[2，＋∞) 2??
(2)函数y＝x＋x－6的单调递增区间为________，单调递减区间为________． (1)B (2)[2，＋∞) (－∞，－3] [ (1)y＝|x－3x＋2|＝
??x－3x＋2，x≤1或x≥2，
?2
?－x－3x＋2，1＜x＜2.?
2
2
?3?如图所示，函数的单调递增区间是?1，?和[2，＋∞)；单调
?2??3?递减区间是(－∞，1]和?，2?.故选B. ?2?
(2)令u＝x＋x－6，
则y＝x＋x－6可以看作是由y＝u与u＝x＋x－6复合而成的函数．
令u＝x＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.
易知u＝x＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝u在[0，＋∞)上是增函数，
所以y＝x＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．]
222
2
2
2
3
(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．
(2)求复合函数的单调区间的步骤一般为：①确定函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”．
含参函数的单调性
12
[一题多解]判断并证明函数f(x)＝ax＋(其中1＜a＜3)在x∈[1,2]上的单
x调性．
[解] 法一：(定义法)设1≤x1＜x2≤2，则
f(x2)－f(x1)＝ax22＋－?ax1＋?
x1?x2?
＝(x2－x1)?a1
?
2
1?
?
?x1＋x2－?，
x1x2??
1
由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0,2＜x1＋x2＜4， 1＜x1x2＜4，－1＜－又1＜a＜3，
所以2＜a(x1＋x2)＜12， 得a(x1＋x2)－
1
1＜－. x1x241
x1x2
＞0，从而f(x2)－f(x1)＞0，
即f(x2)＞f(x1)，
故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增． 2ax－1
法二：(导数法)因为f′(x)＝2ax－2＝， 2
1
3
xx因为1≤x≤2，所以1≤x≤8， 又1＜a＜3， 所以2ax－1＞0， 所以f′(x)＞0，
12
所以函数f(x)＝ax＋(其中1＜a＜3)在[1,2]上是增函数．
3
3
x 定义法证明函数单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；②作差f(x1)
－f(x2)；③变形(通常是因式分解和配方)；④定号(即判断f(x1)－f(x2)的正负)；⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．
1.函数y＝－x2＋2|x|＋3的递增区间为________．
(－∞，－1]，[0,1] [由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x＜0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2
4
＋4，二次函数的图像如图．
由图像可知，函数y＝－x＋2|x|＋3的递增区间为(－∞，－1]，[0,1]．] 2．判断并证明函数f(x)＝
2
ax(a≠0)在(－1,1)上的单调性． x－1
[解] 法一：(定义法)设－1＜x1＜x2＜1，
f(x)＝a?
?x－1＋1?＝a?1＋1?，
???
?x－1??x－1?
?
1?
f(x1)－f(x2)＝a?1＋?－a?1＋?
?x1－1??x2－1?
＝
?
1?
ax2－x1
，由于－1＜x1＜x2＜1，
x1－1x2－1
所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)，
函数f(x)在(－1,1)上递减；
当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上递增． 法二：(导数法)f′(x)＝
ax－1－ax－a＝2
x－1x－1
2
，
所以当a＞0时，f′(x)＜0，当a＜0时，f′(x)＞0， 即当a＞0时，f(x)在(－1,1)上为单调减函数， 当a＜0时，f(x)在(－1,1)上为单调增函数． 考点2 函数的最值
求函数最值的5种常用方法及其思路
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
x－a2x≤0，??
(1)若函数f(x)＝?1
x＋＋ax＞0??x取值范围是( )
A．[－1,2]
的最小值为f(0)，则实数a的
B．[－1,0]
5
相关推荐：
loading