＋4，二次函数的图像如图．
由图像可知，函数y＝－x＋2|x|＋3的递增区间为(－∞，－1]，[0,1]．] 2．判断并证明函数f(x)＝
2
ax(a≠0)在(－1,1)上的单调性． x－1
[解] 法一：(定义法)设－1＜x1＜x2＜1，
f(x)＝a?
?x－1＋1?＝a?1＋1?，
???
?x－1??x－1?
?
1?
f(x1)－f(x2)＝a?1＋?－a?1＋?
?x1－1??x2－1?
＝
?
1?
ax2－x1
，由于－1＜x1＜x2＜1，
x1－1x2－1
所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)，
函数f(x)在(－1,1)上递减；
当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上递增． 法二：(导数法)f′(x)＝
ax－1－ax－a＝2
x－1x－1
2
，
所以当a＞0时，f′(x)＜0，当a＜0时，f′(x)＞0， 即当a＞0时，f(x)在(－1,1)上为单调减函数， 当a＜0时，f(x)在(－1,1)上为单调增函数． 考点2 函数的最值
求函数最值的5种常用方法及其思路
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
x－a2x≤0，??
(1)若函数f(x)＝?1
x＋＋ax＞0??x取值范围是( )
A．[－1,2]
的最小值为f(0)，则实数a的
B．[－1,0]
5
C．[1,2] D．[0,2]
?1?x(2)函数f(x)＝??－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
?3?
(3)函数y＝x－x(x≥0)的最大值为________．
111
(1)D (2)3 (3) [(1)当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝，即x＝1
4xx时，等号成立．
故当x＝1时取得最小值2＋a， ∵f(x)的最小值为f(0)，
∴当x≤0时，f(x)＝(x－a)单调递减，故a≥0， 此时的最小值为f(0)＝a，故2＋a≥a，得－1≤a≤2. 又a≥0，得0≤a≤2.故选D.
2
2
2
?1?x(2)∵f(x)＝??－log2(x＋2)在区间[－1,1]上单调递减，∴f(x)max＝f(－1)＝3－log21
?3?
＝3.
111?1?212
(3)令t＝x，则t≥0，所以y＝t－t＝－?t－?＋，当t＝，即x＝时，ymax＝.]
244?2?4
a?1??1?则a＝________，
[逆向问题] 若函数f(x)＝－＋b(a＞0)在?，2?上的值域为?，2?，
x?2??2?b＝________.
5a?1?1 [∵f(x)＝－＋b(a＞0)在?，2?上是增函数，
2x?2?
?1?1
∴f(x)min＝f??＝，f(x)max＝f(2)＝2.
?2?2
1
－2a＋b＝，??2即?a－??2＋b＝2，
5
解得a＝1，b＝.]
2
(1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．如本例(3)．
(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．如本例(1)．
(3)若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则必在区间的端点处取得最值．如本例(2)；若函数f(x)在区间[a，b]上不单调，则最小值为函数
f(x)在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值，最大值为函数 f(x)在该区间内的极大值和区间端点值中最大的值．
6
x2＋4
1.函数f(x)＝的值域为________．
x4
(－∞，－4]∪[4，＋∞) [当x＞0时，f(x)＝x＋≥4，
x当且仅当x＝2时取等号；
?4?当x＜0时，－x＋?－?≥4，
?x?
4
即f(x)＝x＋≤－4，
x当且仅当x＝－2时取等号，
所以函数f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．] 2．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝?
?a，a≤b，?
??b，a＞b.
设函数f(x)＝－x＋3，g(x)
＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
1 [法一：(图像法)
在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)图像， 依题意，h(x)的图像如图所示． 易知点A(2,1)为图像的最高点， 因此h(x)的最大值为h(2)＝1.
?log2x，0＜x≤2，?
法二：(单调性法)依题意，h(x)＝?
??－x＋3，x＞2.
当0＜x≤2时，h(x)＝log2 x是增函数， 当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数， 所以h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.] 考点3 函数单调性的应用
比较大小
比较函数值大小的解题思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．
已知函数f(x)的图像向左平移1个单位后关于y轴对称，
?1?当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f?－?，b＝f(2)，c＝f(3)，则
?2?
a，b，c的大小关系为( )
A．c＞a＞b C．a＞c＞b
B．c＞b＞a D．b＞a＞c
7
D [根据已知可得函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．所
?1??5?以a＝f?－?＝f??，f(2)＞f(2.5)＞f(3)，所以b＞a＞c.] ?2??2?
本例先由[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0得出f(x)在(1，＋∞)上是减函数，然后
1
借助对称性，化变量－2，2,3于同一单调区间，并借助单调性比较大小．
解不等式
求解含“f”的函数不等式的解题思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．此时要特别注意函数的定义域．
定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且
f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为( )
A．[－1,2) C．[0,1)
B．[0,2) D．[－1,1)
C [因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，所以函数在[－2,2]上单调递增，
所以－2≤2a－2＜a－a≤2，解得0≤a＜1，故选C.]
本例在求解时，应注意隐含条件为a－a∈[－2,2]，2a－2∈[－2,2]．
[教师备选例题]
2
2
f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等
式f(x)＋f(x－8)≤2的解集为________．
(8,9] [因为2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2可得f[x(x－
x>0，??8)]≤f(9)，f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有?x－8>0，
??xx－8≤9，
根据函数的单调性求参数
利用单调性求参数的范围(或值)的方法
解得8 (1)视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数． (2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． (1)(2019·郑州模拟)函数y＝ x－5 在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取 x－a－2 8
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