余弦定理 对于任意三角形

余弦定理

对于任意三角形，若三边为a，b，c 三角为A，B，C— ，则满足性质— a^2 = b^2 + c^2 - 2〃b〃c〃cosA

b^2 = a^2 + c^2 - 2〃a〃c〃cosB c^2 = a^2 + b^2 - 2〃a〃b〃cosC

cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2〃a〃b) cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2〃a〃c) cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2〃b〃c)

（物理力学方面的平行四边形定则以及电学方面正弦电路向量分析也会用到） 第一余弦定理（任意三角形射影定理）

设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

a=b〃cos C+c〃cos B， b=c〃cos A+a〃cos C， c=a〃cos B+b〃cos A。 编辑本段证明方法

平面向量证法(此方法简洁有力，充分体现了向量运算的威力和魅力。不能因为向量比余弦定理晚出现就觉得这个方法不妥当，因为向量的定义中不存在余弦定理，也就是说：向量的正确性不立足于在余弦定理，所以用向量证明余弦定理不存在逻辑问题。况且指数也比对数晚出现，可是如今定义对数用的就是指数方法。只要方法更优，逻辑上没有问题，我们尽可能追求简洁。） ∵如图，有c=a-b，

c^2=(a-b)〃(a-b)=a^2+b^2-2a〃b=|a|^2+|b|^2-2|a||b|cos

=> c^2=a^2+b^2-2abcosC

粗体为向量，正常字体指的是边长 平面几何证法

在任意△ABC中 做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2 b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB 作用

(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角 (2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。 (3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。(见解三角形公式，推导过程略。)

判定定理一(两根判别法)：

若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取 减号的值

①若m(c1,c2)=2,则有两解 ②若m(c1,c2)=1,则有一解

③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解)。

注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。 判定定理二(角边判别法): 一当a>bsinA时

①当b>a且cosA>0(即A为锐角)时，则有两解

②当b>a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解) ③当b=a且cosA>0(即A为锐角)时，则有一解

④当b=a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解) ⑤当b

①当cosA>0(即A为锐角)时,则有一解

②当cosA<=0(即A为直角或钝角)时，则有零解(即无解) 三当a

解三角形公式

例如：已知△ABC的三边之比为5：4：3，求最大的内角。 解 设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3.

由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角。由余弦定理 cos A=0

所以∠A=90°.

再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度，求BC之长。 解 由余弦定理可知

BC2=AB2+AC2-2AB×AC〃cos A =4+9-2×2×3×cos60 =13-12x0.5 =13-6 =7

所以BC=√7. (注：cos60=0.5,可以用计算器算） 以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。 其他

从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

解三角形时，除了用到余弦定理外还常用正弦定理。 30° 45° 60° 75° Sin 1/2 √2/2 √3/2 （√6+√2)/4 Cos √3/2 √2/2 1/2 (√6-√2)/4 Tan √3/3 1 √3 2+√3

先考虑怎样计算三角形第三边的长 实际应用

在实际生活中，余弦定理是在计算机应有技术中的智能推荐系统，新闻分类中的基本算法之一。从吴军的《数学之美》那本书上知道余弦公式是可以对新闻进行分类的，当然就可以用来对用户进行分类了。引用《数学之美》文章中的话：“向量实际上是多维空间中有方向的线段。如果两个向量的方向一致，即夹角接近零，那么这两个向量就相近。而要确定两个向量方向是否一致，这就要用到余弦定理计算向量的夹角了。” “当两条新闻向量夹角的余弦等于一时，这两条新闻完全重复（用这个办法可以删除重复的网页）；当夹角的余弦接近于一时，两条新闻相似，从而可以归成一类；夹角的余弦越小，两条新闻越不相关。 ”同理，可以在推荐系统中用来计算用户或者商品的相似性。 余弦定理的前世

如果要算起最古老的数学定理，那自是勾股定理——远在几千年前的巴比伦时期就已经存在；要算起证明方法最多的数学定理，那也是勾股定理——有四五百种方法，爱因斯坦，美国总统这些人都参与进来。今日让我们简单回味一下勾股定理的前世今生，对这伟大的数学定理重新瞻仰。

勾股定理的最早记录，来自美索不达米亚时期的数学泥版。在一块泥版上，刻着“构成直角三角形的各边长”，比如（3,4,5），（5,12,13）等，这大概是最早的毕达哥拉斯数组的最早记录，虽然其远在毕达哥拉斯之前。不过，巴比伦人并没有将之写成统一的数学形式，他们只是将这些数组列成表格，方便计算。很显然，这个时期的数学都是为了解决实际问题。而且严格来说，巴比伦人也没有发现真正的勾股定理，但这作为勾股定理的雏形是绝对有道理的，因为毕达哥拉斯本人都很有可能是从巴比伦人那里学到了勾股定理。 这事一下子就得跳到古希腊时期，正如我们所知道的，由毕氏学派发现了勾股定理的一般形式。勾股定理在西方也就被冠以“毕达哥拉斯定理”的称号，在中国，最早记录勾股定理的文献，应该是《周髀算经》。不管怎么说，勾股定理的形式也就完全确定下来，至此以后就再也没有变过。但对其不断的证明和探索却没有停止，直到现在依然如此——爱因斯坦就是因为他独立证明出了勾股定理，产生出了对数学的兴趣，由此走上科学之路，有不明真相的童鞋据此写下这样一个等式：E=Mc=M(a+b)。 与我们知道的不同，古时的勾股定理并非如我们现在的形式——两直角边平方和等于斜边的平方。古希腊人对几何的崇拜，使得勾股定理的描述形式在很长一段时间里都是几何语言——两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。所以有后人对其表述形式作出了推广，比如将正方形改成三个相似图形。 由于勾股定理作用在直角三角形中如此有效，人们自然会想到一般的三角形会不会由此类似的结论，对余弦定理的探讨由此展开。当然，由于在古代尚未发展处“三角函数”，甚至于连角度的概念都没有完全形成，所以所出现的余弦定理都只是现代余弦定理的几何等价形式。比如古希腊时期欧几里得，在其《几何原本》里就阐述了几条余弦定理的等价命题：

1：在钝角三角形中，钝角对边上的正方形，比钝角两夹边上的正方形之和大一个矩形的两倍，这个矩形就是由一锐角向对边的延长线做垂线，垂足到钝角之间一段与另一边所构成的矩形。

2：在锐角三角形中，锐角对边上的正方形，比锐角两夹边上的正方形之和小一个矩形的两倍，这个矩形就是由一锐角向对边做垂线，垂足到原锐角顶点之间的一段与该边所构成的矩形。[1]