解集 知识点四 ：一次函数的实际应用 （1）设出实际问题中的变量； 一次函数本身并没有最值，但9.一般步骤 （2）建立一次函数关系式； 在实际问题中，自变量的取值（3）利用待定系数法求出一次函数关系式； 往往有一定的限制，其图象为（4）确定自变量的取值范围； 射线或线段.涉及最值问题的（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义； 一般思路：确定函数表达式→（6）做答. 确定函数增减性→根据自变（1）求一次函数的解析式. 10.常见题型 （2）利用一次函数的性质解决方案问题. 量的取值范围确定最值. 第11讲 反比例函数的图象和性质
知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质 （1）定义：形如y＝(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量关键点拨与对应举例 例：函数y=3x，当m=－2时，则该函数是反比例函数． m+1kx1.反比例函的取值范围是非零的一切实数． 数的概念 （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式： ①y＝；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0) kxk的符号 k>0 图象 经过象限 图象经过第一、三象限 y随x变化的情况 每个象限内，函数y的值随x的增大而减小. （1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k. 失分点警示 （2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地2.反比例函数的图象和性质 （x、y同号） k<0 图象经过第二、四象限 （x、y异号） 每个象限内，函数y的值随x的增大而增大. 判断. （1）由两条曲线组成，叫做双曲线； 3.反比例函数的图象特征 例：若(a，b)在反比例函数（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交； （3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线． 只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数y?k的图x象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在\、\不在\ 4.待定系数法 例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x. k即可. 知识点二 ：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合 （1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|. （2）常见的面积类型： kx失分点警示 已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0. 例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：y5.系数k的几何意义 （1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函?33或y??. xx涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义. 6.与一次函 数解析式中求解 数的综合 （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.例：如图所示，三个阴影部分的面积按也可逐一选项判断、排除. 从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方△BOD. 的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 知识点三：反比例函数的实际应用 （1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； 7 .一般步骤 （2设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 第12讲 二次函数的图象与性质
知识点一：二次函数的概念及解析式 关键点拨与对应举例 例：如果函数y=(a－1)x是二21.一次函数的定义 形如y＝ax＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数. 2次函数，那么a的取值范围是a≠0. （1）三种解析式：①一般式：y=ax+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x222若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式. 2.解析式 为抛物线与x轴交点的横坐标. （2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 知识点二 ：二次函数的图象与性质 yyxO（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对图象 xO3.二次函数的图象和性质 开口 对称y=ax2+bx+c(a＞0) y=ax2+bx+c(a＜0) 称轴同侧时，根据函数的性质向上 向下 判断；当自变量在对称轴异侧x＝ ?轴 顶点坐标 b 2a时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；?b4ac?b2???,? 4a??2a④图象法：画出草图，描点后增减性 当x>?bb时，y随x的增大而减小；比较函数值大小. 时，y随x的增大而增大；当x>?2a2ab2a当x＜?失分点警示 时，y随x的增大而减小. 当x＜?b时，y随x的增大而增大. 2a（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不最值 4ac?b2bx=?y最小＝. 4a2a，4ac?b2bx=?y最大＝. 4a2a，能盲目根据公式求解. 例：当0≤x≤5时，抛物线y=x+2x+7的最小值为7 . 2决定抛物线的开口方当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下. 当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边； 某些特殊形式代数式的符号： ① a±b+c即为x=±1时，y 的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值. a 向及开口大小 a、 b 决定对称轴（x=-b/2a）当b＝0时， -b/2a=0，对称轴为y轴； 的位置 当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边． 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 决定抛物线与y轴的交3.系数a、b、c c 点的位置 ③ 2a+b的符号，需判断对称 轴-b/2a与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-b/2a＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小. 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点; b－决定抛物线与x轴的交b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点; 24ac 点个数 b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点 知识点三 ：二次函数的平移 失分点警示： 4.平移与解析式的关系 y=ax2的图象向左(h＜0)或向右(h＞0)平移|h|个单位y=a(x－h)2的图象向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位y=a(x－h)2＋k 的图象抛物线平移规律是“上加下减， 左加右减”,左右平移易弄反. 例：将抛物线y=x沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x－2）． 22注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式 知识点四 ：二次函数与一元二次方程以及不等式 二次函数y=ax＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方25.二次函数与一元二次方程 程ax+bx+c=0的根. 当Δ＝b－4ac＞0，两个不相等的实数根； 当Δ＝b－4ac＝0，两个相等的实数根； 当Δ＝b－4ac＜0，无实根 2222例：已经二次函数y=x-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程x-3x+m=0的两个实数根为2,1. 226.二次函数与不等式 抛物线y= ax＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax＋bx＋c＜0的解集. 222第13讲 二次函数的应用
知识点一：二次函数的应用 一般步骤 ① 据题意，结合函数图象求出函数解析式； ②确定自变量的取值范围； ③根据图象，结合所求解析式解决问题. ① 分析问题中的数量关系，列出函数关系式； ② 研究自变量的取值范围； 实际问题中 ③ 确定所得的函数； 求最值 ④ 检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求 相关的值； ⑤解决提出的实际问题. ②求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在自变量的取值范围内. 由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面① 根据几何图形的性质，探求图形中的关系式； 结合几何图形 ② 根据几何图形的关系式确定二次函数解析式； ③ 利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题 积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围. 要设为函数； 小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”关键点拨 若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；②使已知点所在的位置适当（如在x轴，y轴、原点、抛物线上等），方便求二次函数丶表达式和之后的计算求解. 解决最值应用题要注意两点： ①设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（最 实物抛物线 第四单元 图形的初步认识与三角形
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