（1）性质 （1）等边三角形是特殊的等腰三①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°. 角形，所以等边三角形也满足即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°； “三线合一”的性质. ②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角（2）等边三角形有一个特殊的角2.等边平分线或中线)所在的直线是对称轴. 60°，所以当等边三角形出现三角形 （2）判定 高时，会结合直角三角形30°①定义：三边都相等的三角形是等边三角形； 角的性质，即BD=1/2AB. ②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形； 例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝BC=3，则△ABC的周长为9. 60°，则△ABC是等边三角形. 知识点二 ：角平分线和垂直平分线 （1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若 3.角平分线 ∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB. （2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平 分线上． CO12BA例：如图，△ABC中，∠C=90°，PC∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交ABP4.垂直平分线图形 （1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB. A于E，CD=2，则AC=6. OB（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 知识点三：直角三角形的判定与性质 (1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°； (2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则5.直角三角形的性质 (3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角cbCaD1AC＝AB； 2A边，c为斜边，h是斜边上的高)，B可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问1CD＝AB. 2(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即 a＋b＝c . 222题. (1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△； 6.直角AcbCaD（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论. （3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决. B(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三三角角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△ 形的判定 (3) 勾股定理的逆定理：若a＋b＝c，则△ABC是Rt△. 222 第17讲 相似三角形
知识点一：比例线段 关键点拨与对应举例 1. 比例 线段 ac?，列比例等式时，注意四条线段的大小bd顺序，防止出现比例混乱. 那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即(1)基本性质：ac（b、d≠0） ?? ad＝bc；bd已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解. 例：若2.比例 的基本性质 aca?bc?d(2)合比性质：??＝；（b、d≠0） bdbd(3)等比性质：acm?＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)? bdna?c?...?m＝k.（b、d、···、n≠0） b?d?...?na3a?b8?，则?. b5b5（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 l1ABCl2DEFl3l4l5利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 3.平行线分线段成比段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则ABDE. ?BCEF（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边AOB例：如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和ACD例定理 的延长 线)，所得的对应线段成比例. 上的点，要使DE∥OAOB即如图所示，若AB∥CD，则. ?ODOCCAE=2，CE=3，（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． BDA5AB，那么BC：CD应等于. 3EC如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=4.黄金分割 ACAB5－1把长为10cm的线段进行黄金分割，≈，那么例：2那么较长线段长为5(5－1)cm． 线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． 知识点二 ：相似三角形的性质与判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). AD判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 F如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个BCE线，可用平行线找出相等的角而判定；②条 DA件中若有一对等角，可再找一对等角或再找 F5.相似三角形的判定 三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，BCE夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件 ACAB，则△ABC∽△DEF. ?DFDE(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如AD中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 F图，若ABACBC，则△ABC∽△DEF. ??DEDFEFBCE明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等 或找底、腰对应成比例. (1)对应角相等，对应边成比例． 例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4. (2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2. 6.相似 三角形的性质 (2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． (3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比． （1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图7.相似形，可以迅速找到解题思路，事半功倍. （2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然三角形的基本模型 后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果. 第18讲 解直角三角形
知识点一：锐角三角函数的定义 ∠A的对边a正弦: sinA＝＝ 斜边c 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 度数 30° 三角函数 45° 60° 关键点拨与对应举例 1.锐角三角函数 ∠A的邻边b余弦: cosA＝＝ 斜边c∠A的对边a正切: tanA＝＝. ∠A的邻边b2.特殊角的三角函数值 sinA 1 22 23 21 2 cosA 3 23 32 21 tanA 3 知识点二 ：解直角三角形 3.解直角三角形在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便； 已知直边求直边，理所当然用正切； 的概念 过程叫做解直角三角形． (1)三边之间的关系：a＋b＝c； (2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； 222已知两边求一边，勾股定理最方便； 已知两边求一角，函数关系要记牢； 4.解直角三角形的常用关系 (3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=， tanA＝. acbc已知锐角求锐角，互余关系不能少； 已知直边求斜边，用除还需正余弦. 例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5. ab知识点三 ：解直角三角形的应用 (1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①） (2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型： （1） 叠合式 （2）背靠式 5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角 比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②） (3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③） 解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解. (1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； 6.解直角三角形实际应用的一般步骤 (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； (3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 第五单元 四边形 第19讲 多边形与平行四边形
知识点一：多边形 关键点拨与对应举例
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