2010年中考数学一轮复习 - 第十五讲四边形

∵△ABF≌△DCE, ∴∠AFB=∠DEC, ∴∠AFC=∠DEB. 在△AFC和△DEB中， ∵AF=DE, ∠AFC=∠DEB,CF=BE. ∴△AFC≌△DEB,

∴AC=DB. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形.

例3（09年 广东）在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ＡＢ＝５，ＡＣ＝６.过Ｄ点作DE∥AC交ＢＣ的延长线于点Ｅ. （１）求△BDE的周长； （２）点Ｐ为线段BC上的点，

连接PO并延长交AD于点Q.求证：BP=DQ.

解题思路：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD=5，ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＢ＝ＯＤ，ＯＡ＝ＯＣ＝３ ∴OB?BPCEAQDOAB2?OA2?4，ＢＤ＝２OB=8

∵ＡＤ∥ＣＥ，ＡＣ∥ＤＥ，∴四边形ＡＣＥＤ是平行四边形 ∴ＣＥ＝ＡＤ＝ＢＣ＝５，ＤＥ＝ＡＣ＝６

∴△ＢＤＥ的周长是：ＢＤ+ＢＣ+ＣＥ+ＤＥ＝８+１０+６＝２４.

（２）证明：∵AD∥BC，∴∠OBP=∠ODQ，∠OPD=∠OQD ∵OB=OD，∴△BOP≌△DOQ，∴BP=DQ。

考查目标二、开放性问题

例1.（09年 广东） 如图所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O.以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1；再以A1B1、A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以O1B1、O1C1为 邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1??依此类推.

AODA1BO1A2C

B1B2C1C2 （1）求矩形ABCD的面积；

（2）求第1个平行四边形OBB1C、第2个平行四边 形A1B1C1C和第6个平行四边形的面积。 解题思路

解（1）∵四边形ABCD是矩形，AC=20，AB＝12 ∴∠ABC＝９０o，BC?AC2?AB2?202?122?16

∴S矩形ABCD?AB?BC?12?16?192。

（２）∵ＯＢ ∥B1C，ＯＣ ∥BB1，∴四边形ＯＢB1C是平行四边形。 ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴ＯＢ＝ＯＣ，∴四边形ＯＢB1C是菱形。

11BC?8，OA1?OB1?OB2?A1B2?6 2211 ∴OB1?2OA1?12，∴S菱形OBB1C=BC?OB1??16?12?96

22 ∴OB1?BC，A1B? 同理：四边形AC１C是矩形，∴Ｓ＝A1B1?B1C1=6?8?48 １B１矩形ＡＢＣＣ１１１ ‥‥‥ 第ｎ个平行四边形的面积是：Sｎ＝ ∴S6?192 ｎ2F192=12． 26?例2（08 江苏扬州）如图，正方形ABCD 绕点A逆时针旋转n后得到正方形AEFG， 边EF与CD交于点O．

（1） 以图中已标有字母的点为端点连结 两条线段（正方形的对角线除外），要求所 连结的两条线段相交且互相垂直，并说明这 两条线段互相垂直的理由；

（2） 若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为求旋转的角度n． 解题思路：

（1）连结的两条相交且互相垂直的线段是AO和DE． 理由如下：

MANGDOEC12B43cm2， 3 AO?DE

证明：?在Rt△ADO与Rt△AEO中，AD?AE，AO?AO，

?Rt△ADO≌Rt△AEO，

??DAO??OAE（即AO平分?DAE） ?AO?DE（等腰三角形的三线合一）

注：其它的结论也成立如GD⊥BE． （2）30

?43?四边形AEOD的面积为3， AD?DO23?ADO23， ?三角形的面积

?AD?2，DO??233，

?

??EAB?30，??DAO?30，考查目标三、与函数综合

例如图：梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=6，在线段BC上任取一点P，连接DP，作射线PE⊥DP，PE与直线AB交于点E.（1）试确定当CP=3时，点E的位置；（2）若设CP=x，BE=y，试写出y关于自变量x的函数关系式.

解题思路

（1）连接DP ∵CP=3 ∴BP=BC—CP=12 —3=9 ∵AD=9 ∴AD=DP ∵AD∥DP ∴四边形ABPD是矩形 ∴ DP⊥BP ∵PE⊥DP ∴点E与点B重合

（2）过点D作DF⊥BC，垂足为F，∴AD=BF=9 AB=DF=6

A D

E B C

P

当点P在BF上：

∵∠BPE +∠EPD+∠DPF=180° PE⊥DP ∴∠BPE +∠DPF=90° ∵DF⊥BC ∴∠PDF+∠DPF=90° ∴∠PDF =∠EPB

∴∴△PEB∽△DPF ∴

BEBP? PFDF∵CP=x BE=y ∴BP=12—x PF=PC—CF=x—3

∴

y12?x12?（6分） ∴y??(x?15x?36) x?36612(x?15x?36) 6当点P在CF上，同理可求得：y? 过关测试 一、选择题

1．如果要用正三角形和正方形两种图案进行密铺，那么至少需要（? ） A．三个正三角形，两个正方形 B．两个正三角形，三个正方形 C．两个正三角形，两个正方形 D．三个正三角形，三个正方形 2．使用同一种规格的下列地砖，不能密铺的是（ ）

A．正六边形地砖 B．正五边形地砖 C．正方形地砖 D．正三角形地砖 3．下面的选项中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A．正六边形 B．平行四边形 C．正五边形 D．等边三角形

4．已知梯形的上底与下底的比为2：5，且它的中位线长为14cm，则这个梯形的上，下底的长分别为（ ）

A．4cm，10cm B．8cm，20cm C．2cm，5cm D．14cm，28cm

5．如图4，如果平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么图中的全等三角形共有（ ）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对