么它的终边在第一象限.在?的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离r?a2?b2?0.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.则
MPbOMaMPb?;cos???; tan???. OPrOPrOMa思考：对于确定的角?，这三个比值是否会随点P在?的终边上sin??的位置的改变而改变呢？
显然，我们可以将点取在使线段OP的长r?1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
y P(x,O x MPOMMPb?b; cos???a; tan???. OPOPOMa思考：上述锐角?的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.sin??那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数. 【探究新知】
1.探究:结合上述锐角?的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?
显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆.
2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?
如图,设?是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: (1)y叫做?的正弦(sine),记做sin?,即sin??y； （2）x叫做?的余弦(cossine),记做cos?,即cos??x； （3）叫做?的正切(tangent),记做tan?,即tan??yxy(x?0). x注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P(x,y)，从而就必然能够最终算出三角函数值.
3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r?x2?y2,那么sin??yx?y22,cos??xx?y22,
tan??y.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为x角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.
4.例题讲评
例1.求
5?的正弦、余弦和正切值. 3例2．已知角?的终边过点P0(?3,?4)，求角?的正弦、余弦和正切值.
教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法: 如例2:设x??3,y??4,则r?(?3)2?(?4)2?5.
于是 sin??y4x3y4??,cos????,tan???. r5r5x35.巩固练习P17第1,2,3题
6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函
数的值在各个象限的符号填入表格中： 定义域 三角函数 角度制 弧度制 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin? cos? tan? 7．例题讲评 例3．求证：当且仅当不等式组{sin??0tan??0成立时，角?为第三象限角.
8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
sin(??2k?)?sin?
cos(??2k?)?cos? (其中k?Z) tan(??2k?)?tan?
9.例题讲评
例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250; (2)sin(???4); (3)tan(?672?); (4)tan3?
例5.求下列三角函数值:
(1)sin148010; (2)cos?'9?11?) ; (3)tan(?46??利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2?(或0到360)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题.
10.巩固练习P15第4,5,6,7题 11.学习小结
(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域；
(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗? 五、评价设计
1．作业：习题1.2 A组第1,2题．
2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.
第二课时 任意角的三角函数（二）
【复习回顾】
1、 三角函数的定义；
2、 三角函数在各象限角的符号； 3、 三角函数在轴上角的值； 4、 诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等； 5、 三角函数的定义域.
要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】
1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度y 数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但
a角的终边 它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表
示三角函数呢？
P T 2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角?为第一象限角时，则其终边与
O M A x 单位圆必有一个交点P(x,y)，过点P作PM?x轴交x轴于点M，则请你观察:
根据三角函数的定义：|MP|?|y|?|sin?|；
|OM|?|x|?|cos?|
随着?在第一象限内转动，MP、OM是否也跟着变化？
3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP、OM规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的坐标一致？
（2）你能借助单位圆，找到一条如MP、OM一样的线段来表示角?的正切值吗？
我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角?的终边不在坐标轴时,以O为始点、M为终点，规定：
当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有正值x；其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有 OM?x?cos?
同理,当角?的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点，规定：
当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向
时，MP的方向为负向，且有正值y；其中y为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有MP?y?sin?
4.像MP、OM这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment）.
5.如何用有向线段来表示角?的正切呢?
如上图,过点A(1,0)作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与?的终边交于点T,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA、AT,我们有 tan??AT?y x我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角?的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.
6.探究：（1）当角?的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？（2）当?的终边与x轴或y轴重合时，又是怎样的情形呢？
7.例题讲解 例1．已知
?4????2，试比较?,tan?,sin?,cos?的大小.
处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习P17第1,2,3,4题 9学习小结
(1)了解有向线段的概念.
(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角?的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.
(3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】
1． 作业：比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)
(1)sin15、tan15 （2）cos15018、cos121 （3）2．练习三角函数线的作图.
???'???、tan
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