第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念
A级 基础巩固
一、选择题
2
1．在2＋7，i，0，8＋5i，(1－3)i，0.618这几个数中，纯
7虚数的个数为( )
A．0 B．1 C．2
D．3
2
解析：i，(1－3)i是纯虚数，2＋7，0，0.618是实数，8＋5i
7是虚数．
答案：C
2．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则( )
A．C＝R∪I C．R＝C∩I
B．R∪I＝{0} D．R∩I＝?
解析：显然，实数集与纯虚数集的交集为空集是正确的． 答案：D
3．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝( )
A．－2＋i C．1－2i
B．2＋i D．1＋2i
解析：由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i， 所以由复数相等的充要条件得x＝2，y＝1， 故x＋yi＝2＋i. 答案：B
4．以2i－5的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是( )
A．2－2i C．－5＋5i
B．2＋i D.5＋5i
解析：2i－5的虚部为2，5i＋2i2＝－2＋5i的实部为－2，所以新复数为2－2i.
答案：A
5．已知集合M＝{1，2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1，3}，且M∩N＝{3}，则实数m的值为( )
A．4 C．－1或4
B．－1 D．－1或6
解析：由于M∩N＝{3}，故3∈M，必有m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，可得m＝－1.
答案：B 二、填空题
6．已知复数z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．
解析：z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i， 所以m2－m＝0，所以m＝0或m＝1. 答案：0或1
x2－x－6
7．已知＝(x2－2x－3)i(x∈R)，则x＝________．
x＋1x2－x－6
解析：因为x∈R，所以∈R，
x＋1
x2－x－6
＝0，x＋1由复数相等的条件得：解得x＝3.
?????x－2x－3＝0，
2
答案：3
8．复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________．
解析：因为m∈R，z1＝z2，
所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.
?2m＋7＝m2－8，
由复数相等的充要条件得?
2
?m－2＝4m＋3，
解得m＝5. 答案：5 三、解答题
9．当实数m为何值时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是：(1)纯虚数；(2)实数．
解：(1)如复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数，
?lg（m2－2m－7）＝0，则?解得m＝4.
2
?m＋5m＋6≠0，
(2)如复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是实数，
?m2－2m－7>0，则?解得m＝－2或m＝－3.
2
?m＋5m＋6＝0，
a
10．关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实数根，求实
2数a的值．
a
解：设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m2－m－1＝(10
2－m－2m2)i，
由复数相等的定义， a2??3m－2m－1＝0，
得? ??10－m－2m2＝0，71解得a＝11或a＝－. 5
B级 能力提升
1．已知复数z1＝a＋bi(a，b∈R)的实部为2，虚部为1，复数z2
＝(x－1)＋(2x－y)i(x，y∈R)．当z1＝z2时x，y的值分别为( )
A．x＝3且y＝5 C．x＝2且y＝0 解析：易知z1＝2＋i
由z1＝z2，即2＋i＝(x－1)＋(2x－y)i(x，y∈R)
B．x＝3且y＝0 D．x＝2且y＝5
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