2.1任意角的三角函数
课前复习：
1. 特殊角的三角函数值记忆 新课讲解：
任意点到原点的距离公式：1．三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(x,y)，
22它与原点的距离为r(r?|x|?|y|?
x2?y2?0)，那么
yy叫做α的正弦，记作sin?，即sin??；
rrxx（2）比值叫做α的余弦，记作cos?，即cos??；
rryy（3）比值叫做α的正切，记作tan?，即tan??；
xx（1）比值（4）比值
xx叫做α的余切，记作cot?，即cot??；
yy说明：①α的始边与x轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α
的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；
②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点P(x,y)在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当???2?k?(k?Z)时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等
yx无意义；同理当??k?(k?Z)时，cot??无意义； xyyxyx、、、分别是一个确定的实rrxy于0，所以tan??④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值数。
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
1
x2?y2?1P(x,y)当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的
几何表示——三角函数线。 有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 有向线段：带有方向的线段。 2．三角函数线的定义：
设任意角?的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点
P(x,y)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角
?的终边或其反向延长线交与点T.
由四个图看出：
当角?的终边不在坐标轴上时，有向线段OM?x,MP?y，于是有
（Ⅲ）
（Ⅳ）
y P M y T P o A x o M A x T （Ⅱ） T y y （Ⅰ） M A M o A x o x P P T sin??yyxxyMPAT??y?MP， cos????x?OM，tan?????AT r1r1xOMOA我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线。
2
说明：
（1）三条有向线段的位置：正弦线为?的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线 在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆 内，一条在单位圆外。
（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向?的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与?的终边的交点。 （3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或向的为负值。
（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。 题型一：求解三角函数值 一般角：利用三角函数的定义 特殊角：先化为0至360度之间的角
y轴同向的为正值，与x轴或y轴反
sin(2k???)?sin?(k?Z)cos(2k???)?cos?(k?Z) tan(2k???)?tan?(k?Z)例1．求下列各角的四个三角函数值： （1）0； （2）?； （3）
例2．已知角α的终边经过点P(2,?3)，求α的四个函数值。
3
3?． 2变式训练1：已知角α的终边过点(a,2a)(a?0)，求α的四个三角函数值。
变式训练2：角?的终边上有一点P（a，a），a∈R，a≠0，则sin?的值是( )
A.
例3．求下列三角函数的值： （1）cos
otan600的值是____________. D 变式训练1：
2 2 B.－
2 2 C.
22或－ 22D.1
9?11?)， （2）tan(?46A.?
33 B. C.?3 D.3 33题型二：判断三角函数值在不同象限内的正负性 例4．确定下列三角函数值的符号： （1）cos250； （2）sin(??4)； （3）tan(?672)； （4）tan11?． 3. B 变式训练1： 若sinθcosθ?0,则θ在________A.第一、二象限 B.第一、三象限C.第一、四象限 D.第二、四象限
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