解析:因为这10个数是1,-3,(-3)2,(-3)3,(-3)4,(-3)5,(-3)6,(-3)7, (-3)8,(-3)9,所以它小于8的概率为=. 答案:
9.已知复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)为纯虚数,则为 . 解析:因为复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)为纯虚数,所以z=2i,则=-2i. 答案:-2i
10.已知三棱锥SABC的各顶点都在一个表面积为4π的球面上,球心O在AB上,SO⊥平面ABC,AC=,则三棱锥S-ABC的表面积为 .
解得a=1,故
解析:因为球的表面积为4π, 所以球的半径为R=1,
三棱锥SABC的图形如图所示, 由题意及图可知AB=2R=2, SO=AO=BO=CO=1, 又SO⊥平面ABC, 所以SA=SB=SC=, 又AC=,所以BC=,
所以△ABC与△ABS均为等腰直角三角形,其面积和为2×1=2,△SAC与△SBC均为等边三角形,其面积和为××
=,所以三棱锥的表面积为
2+. 答案:2+
11.方程3sin x=1+cos 2x在区间[0,2π]上的解为 . 解析:3sin x=1+cos 2x,即3sin x=2-2sin2x, 所以2sin2x+3sin x-2=0, 解得sin x=或sin x=-2(舍去), 所以在区间[0,2π]上的解为或. 答案:或
12.平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,直线AB与CD交于点S,且S位于平面α,β之间,AS=8,BS=6,CS=12,则SD= .
解析:根据题意做出图形. 因为AB,CD交于S点, 所以三点确定一平面,
所以设ASC平面为n,于是有n交α于AC,交β于DB, 因为α,β平行,所以AC∥DB, 所以△ASC∽△BSD,所以=
,
,所以SD=9.
因为AS=8,BS=6,CS=12,所以=答案:9
13. 如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角;④DM与BN是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是 (写出所有你认为正确的命题).
解析:把展开图复原成正方体,如图,由正方体的性质,可知:BM与ED是异面直线,所以①是错误的;CN与BE是平行直线,所以②是错误的;从图中连接AN,AC,由于几何体是正方体,所以三角形ANC为等边三角形,所以CN,BE所成的角为60°,所以③是正确的;DM与BN是异面直线,所以④是正确的.
答案:③④
14. 如图,平面ABCD⊥平面ABEF,四边形ABCD是正方形,四边形ABEF是矩形,且AF=AD=a,G是EF的中点,则GB与平面AGC所成角的正弦值为 .
解析: 因为四边形ABCD是正方形, 所以CB⊥AB.
因为平面ABCD⊥平面ABEF且交于AB, 所以CB⊥平面ABEF. 因为AG,GB?平面ABEF, 所以CB⊥AG,CB⊥BG.
又AD=2a,AF=a,四边形ABEF是矩形,G是EF的中点,所以AG=BG=a,AB=2a, 所以AB2=AG2+BG2,所以AG⊥BG, 因为BG∩BC=B,
所以AG⊥平面CBG,而AG?平面AGC,故平面AGC⊥平面BGC, 如图.在平面BGC内作BH⊥GC,垂足为H,则BH⊥平面AGC, 所以∠BGH是GB与平面AGC所成的角. 在Rt△CBG中,BH=答案: 三、解答题
15. 如图,直三棱柱ABCA′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,AA′=1,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.
=
a,BG=a,所以sin ∠BGH=
=.
(1)证明:MN∥平面A′ACC′;
(2)求三棱锥A′-MNC的体积.(锥体体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高)
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