2019年高考数学二轮复习试题：专题三 立体几何与空间向量 专题检测(含解析)

4.对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是( B ) (A)︱a·b︱≤︱a︱︱b︱ (B)︱a-b︱≤︱︱a︱-︱b︱︱ (C)(a+b)2=︱a+b︱2 (D)(a+b)(a-b)=a2-b2

解析:因为︱a·b︱=︱a︱︱b︱︱cos ︱≤︱a︱︱b︱,所以选项A正确;当a与b方向相反时,︱a-b︱≤︱︱a︱-︱b︱︱不成立,所以选项B错误;向量的平方等于向量的模的平方,所以选项C正确;(a+b)(a-b)=a2-b2,所以选项D正确.故选B.

5.在△ABC中,BC边上的中线AD长为3,且cos B=AC长为( A ) (A)4 (B)16 (C)

(D)

,cos∠ADC=-,则边

解析:如图,因为∠ADC与∠ADB互补,所以当cos∠ADC=-时,

cos∠ADB=, 则sin∠ADB=又cos B=

=

, ,

,则sin B=

所以sin∠BAD=sin(π-∠B-∠ADB)=sin(∠B+∠ADB)=sin Bcos∠ADB+cos Bsin∠ADB=

=

×+

×

=,在△BAD中,由正弦定理得:

,从而BD=2,所以CD=2,在△ADC中,由余弦定理

得:AC2=9+4-2×3×2×（-）=16,所以AC=4.故选A.

6. 如图,四面体ABCD中,AB=DC=1,BD=,AD=BC=,二面角ABDC的平面角的大小为60°,E,F分别是BC,AD的中点,则异面直线EF与AC所成的角的余弦值是( B )

(A) (B) (C) (D)

解析:取DC的中点为G,连EG,FG,则EG=BD=,FG=AC=,易知EF=,则∠

EFG=θ就是异面直线EF与AC所成的角,故在△EFG中,cos θ=故选B.

=,

7.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E为AD的中点,现分别沿BE,CE将△ABE,△DCE翻折,使得点A,D重合于F,此时二面角EBCF的余弦值为( B )

(A) (B) (C) (D)

解析: 如图所示,取BC中点P,连接EP,FP,

由题意得BF=CF=2,所以PF⊥BC,

又因为EB=EC=所以EP⊥BC,

=,

所以∠EPF即为二面角EBCF的平面角, 而FP=

=,在△EPF中,

cos ∠EPF=故选B.

==,

8.在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有PQ1=PQ2,则( A )

(A)平面α与平面β垂直

(B)平面α与平面β所成的(锐)二面角为45° (C)平面α与平面β平行

(D)平面α与平面β所成的(锐)二面角为60° 解析:设P1=fα(P),P2=fβ(P), 则PP1⊥α,P1Q1⊥β, PP2⊥β,P2Q2⊥α.

若α∥β,则P1与Q2重合、P2与Q1重合, 所以PQ1≠PQ2, 所以α与β相交. 设α∩β=l,

由PP1∥P2Q2,

所以P,P1,P2,Q2四点共面, 同理,P,P1,P2,Q1四点共面. 所以P,P1,P2,Q1,Q2五点共面, 且α与β的交线l垂直于此平面. 又因为PQ1=PQ2,

所以Q1,Q2重合且在l上, 四边形PP1Q1P2为矩形.

那么∠P1Q1P2=为二面角αlβ的平面角, 所以α⊥β.故选A. 二、填空题

9.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是 ,体积是 .

解析:由三视图可得该几何体的直观图如图所示.

该几何体是一个四棱锥A-CDEF和一个三棱锥F-ABC构成的组合体,底面直角梯形ABCD的面积为6,侧面CDEF的面积为4,侧面ABF的面积为2,侧