34A. B. 5534C. D. 43
BC4
解析：在直角△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴tanA＝＝.故选D.
AB3方法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值． 变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练” 第5题 探究点二：三角函数的增减性
【类型一】 判断三角形函数的增减性 随着锐角α的增大，cosα的值( ) A．增大 B．减小 C．不变 D．不确定
解析：当角度在0°～90°之间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，故选B. 方法总结：当0°＜α＜90°时，cosα的值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)． 【类型二】 比较三角函数的大小 sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是( ) A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70° C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°
解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又∵cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°＝sin20°.故选D.
方法总结：当角度在0°≤∠A≤90°之间变化时，0≤sinA≤1，0≤cosA≤1，tanA≥0. 探究点三：求三角函数值
【类型一】 三角函数与圆的综合
如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切
线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD.
(1)求证：DC＝BC；
(2)若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．
︵︵
解析：(1)连接OC，求证DC＝BC可以先证明∠CAD＝∠BAC，进而证明DC＝BC；(2)由AB＝5，AC＝4，可根据勾股定理得到BC＝3，易证△ACE∽△ABC，可以求出CE、DE的长，在Rt△CDE中根据三角函数的定义就可以求出tan∠DCE的值．
(1)证明：连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°.∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠OCE＝90°，∴OC∥AE，∴∠OCA＝∠CAD，∴∠CAD＝∠BAC，︵︵
∴DC＝BC.∴DC＝BC；
(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝AB2－AC2＝52－42＝3.∵∠CAE
ECACEC412
＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，∴△ACE∽△ABC，∴＝，即＝，EC＝.∵
BCAB355
9
129ED5332－（）2＝，∴tan∠DCE＝＝＝.
55EC124
5
DC＝BC＝3，∴ED＝DC2－CE2＝方法总结：证明圆的弦相等可以转化为证明弦所对的弧相等．利用圆的有关性质，寻找或构造直角三角形来求三角函数值，遇到比较复杂的问题时，可通过全等或相似将线段进行转化．
变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升” 第5题
【类型二】 利用三角形的边角关系求三角函数值
3
如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求
4
sinC的值．
3
解析：根据tan∠BAD＝，求得BD的长．在直角△ACD中由勾股定理可求AC的长，
4然后利用正弦的定义求解．
BD33
解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD＝＝，∴BD＝AD·tan∠BAD＝12×＝9，∴CD
AD44AD12
＝BC－BD＝14－9＝5，∴AC＝AD2＋CD2＝122＋52＝13，∴sinC＝＝. AC13
方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结
合勾股定理是解答此类问题的关键．
变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第9题 三、板书设计
1．余弦函数的定义； 2．正切函数的定义；
3．锐角三角函数的增减性．
在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目．通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解、掌握基本概念和基础知识.
28．1锐角三角函数
第3课时 特殊角的三角函数
1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)
2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点) 3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点)
一、情境导入
问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？ 问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
二、合作探究
探究点一：特殊角的三角函数值
【类型一】 利用特殊的三角函数值进行计算 计算：
(1)2cos60°·sin30°－6sin45°·sin60°； sin30°－sin45°(2). cos60°＋cos45°解析：将特殊角的三角函数值代入求解．
112313
解：(1)原式＝2××－6××＝－＝－1；
2222221－2
(2)原式＝
1＋2
22
＝22－3. 22
方法总结： 解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型二】 已知三角函数值求角的取值范围 2
若cosα＝，则锐角α的大致范围是( )
3A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．0°＜α＜30° 解析：∵cos30°＝
321122
，cos45°＝，cos60°＝，且＜＜，∴cos60°＜cosα＜cos45°，222232
∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C.
方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性． 【类型三】 根据三角函数值求角度
若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( )
A．20° B．30° C．40° D．50° 解析：∵3tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝故选A.
方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第9题 探究点二：特殊角的三角函数值的应用
【类型一】 利用三角形的边角关系求线段的长 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，
AD＝4，求BC的长．
33
.∵tan30°＝，∴α＋10°＝30°，∴α＝20°.33
解析：由题意可知△BCD为等腰直角三角形，则BD＝BC，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长即可．
解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝BC.在Rt△ABCBCBC3
中，tan∠A＝tan30°＝，即＝，解得BC＝2(3＋1)．
ABBC＋43
方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列出式子，求出三角函数值，进而求出答案．
变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第2题
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