【类型二】 利用俯角求高度 如图，在两建筑物之间有一旗杆EG，高15米，从A点经过旗杆顶部E点恰好看
到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°.若旗杆底部G点为BC的中点，求矮建筑物的高CD.
解析：根据点G是BC的中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB.在Rt△ABC和Rt△AFD中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC、DF，继而可求出CD的长度．
解：过点D作DF⊥AF于点F，∵点G是BC的中点，EG∥AB，∴EG是△ABC的中位线，∴AB＝2EG＝30m.在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∴BC＝ABtan∠BAC＝30×103m.在Rt△AFD中，∵AF＝BC＝103m，∴FD＝AF·tanβ＝103×AB－FD＝30－10＝20m.
答：矮建筑物的高为20m.
方法总结：本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．
变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型三】 利用俯角求不可到达的两点之间的距离 如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得
河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上)，则河的宽度AB约是多少m(精确到0.1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)?
3＝3
3
＝10m，∴CD＝3
解析：在Rt△ACD中，根据已知条件求出AC的值，再在Rt△BCD中，根据∠EDB＝45°，求出BC＝CD＝21m，最后根据AB＝AC－BC，代值计算即可．
CD21
解：∵在Rt△ACD中，CD＝21m，∠DAC＝30°，∴AC＝＝＝213m.∵在
tan30°3
3Rt△BCD中，∠EDB＝45°，∴∠DBC＝45°，∴BC＝CD＝21m，∴AB＝AC－BC＝213－21≈15.3(m)．则河的宽度AB约是15.3m.
方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升” 第3题 【类型四】 仰角和俯角的综合 某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB的高，他们来
到与建筑物AB在同一平地且相距12m的建筑物CD上的C处观察，测得此建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°.求建筑物AB的高(精确到1m，可供选用的数据：2≈1.4，3≈1.7)．
解析：过点C作AB的垂线CE，垂足为E，根据题意可得出四边形CDBE是正方形，再由BD＝12m可知BE＝CE＝12m，由AE＝CE·tan30°得出AE的长，进而可得出结论．
解：过点C作AB的垂线，垂足为E，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∠ECB＝45°，∴四边形CDBE是正方形．∵BD＝12m，∴BE＝CE＝12m，∴AE＝CE·tan30°＝12×∴AB＝43＋12≈19(m)．
答：建筑物AB的高为19m.
方法总结：本题考查的是解直角三角形的应用中仰角、俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第7题 三、板书设计
1．仰角和俯角的概念； 2．利用仰角和俯角求高度；
3．利用仰角和俯角求不可到达两点之间的距离； 4．仰角和俯角的综合．
3
＝43(m)，3
备课时尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学过程中的每一个细节．上课前多揣摩，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能真正提高课堂教学效率.
28.2.2 应用举例
第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形
1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点) 2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点)
一、情境导入
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅h
垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即i＝.
l
坡度通常写成1∶m的形式，如i＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有ih
＝＝tanα.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题． l二、合作探究
探究点一：利用方位角解直角三角形 【类型一】 利用方位角求垂直距离
如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即
线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)．
解析：过点P作PC⊥AB，C是垂足．AC与BC都可以根据三角函数用PC表示出来．根据AB的长得到一个关于PC的方程，求出PC的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿
越保护区．
解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，即解得PC≈126.8km＞100km.
答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．
方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练” 第1题 【类型二】 利用方位角求水平距离 “村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，
C村村民欲修建一条水泥公路，将C村与区级公路相连．在公路A处测得C村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m，在B处测得C村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)
3
PC＋PC＝200，3
解析：作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，据题意有∠CAD＝30°，求得AD.在Rt△CBD中，据题意有∠CBD＝60°，求得BD.又由AD－BD＝500，从而解得CD.
解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足落在AB的延长线上，CD即为所修公路，CD的长CDCD
度即为公路长度．在Rt△ACD中，据题意有∠CAD＝30°，∵tan∠CAD＝，∴AD＝
ADtan30°CDCD3
＝3CD.在Rt△CBD中，据题意有∠CBD＝60°，∵tan∠CBD＝，∴BD＝＝BDtan60°3CD.又∵AD－BD＝500，∴3CD－3
CD＝500，解得CD≈433(m)． 3
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