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2．假设完全竞争厂商的生产函数形如Q?K?L1??，请使用经济逻辑陈述“产量分配净尽定理”（欧拉定理）。[东北财经大学2012研]
答：根据生产函数可得边际产量，即：
MPL??1???K?L??，MPK??K??1L1??
此时，K?MPK?L?MPL?K??K??1L1???L??1???K?L???K?L1???Q
这表明，在完全竞争条件下，如果规模报酬不变，则全部产品正好足够分配给各个生产要素，不多也不少，这就是欧拉定理，也称为产量分配净尽定理。 跨考名师点评：虽然高鸿业《西方经济学（微观部分）》第五版教材删除了“欧拉 定理”这个知识点，但建议考生一定要熟练掌握此知识点，很容易出考题。而且，此知 识点特别容易结合生产理论和柯布-道格拉斯生产函数出考题。
十六、一般均衡求解
1．假设经济中只有A和B两个消费者以及X和Y两种消费品，消费者A的效用函数为UA?XA,YA??XAYA，消费者B的效用函数为UB?XB,YB??XBYB。假设初始禀赋分别为
XA?3，YA?2和XB?1，YB?6，试解：
（1）通过计算来准确画出该经济的埃奇渥斯盒状图及其交换契约曲线。
（2）令PX?1，求能够使得二者的消费量达到帕累托最优的PY，以及此时A与B各自的消费量，XA，YA，XB，YB。[东北财经大学2011研]
A?解：（1）消费者A的边际替代率MRSXYMUXAMUYA?YA，消费者B的边际替代率XABMRSXY?MUXBMUYB?YYYBAB?MRSXY。交换的契约曲线上的点满足MRSXY，故有：A?B。
XBXAXB又因为 ：XA?XB?XA?XB?4，YA?YB?YA?YB?8，所以有：
YA8?YA? XA4?XA整理可得YA?2XA，同理可得YB?2XB。该经济的埃奇渥斯盒状图及其交换契约曲线如图1-4所示。
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图1-4 埃奇渥斯盒状图及其交换契约曲线
AB（2）由（1）知，二者的消费量达到帕累托最优时MRSXY?MRSXY?2?PX，当PX?1时，PY可得PY?0.5。
??,YA假设经过市场交易后，均衡时两人拥有的商品的数量组合分别为：?XA?和?XB?,YB??。
???均衡时，XA?XB?4，YA?YB??8。
同时，消费者A和消费者B必须满足各自的预算约束：
11??1?3??2?4?XA?YA
2211?1?1??6?4?XB?YB?
22????联立上述方程式可得：XA?XB?2，YA?YB?4。
因此，达到均衡时，消费者A和B消费X商品和Y商品分别为：
?X
?A?,YA???2,4?，?XB?,YB????2,4?
2．在两种商品交换的经济体中，两个人（a，b）有如下的效用函数：
Ua?Xa??lnX1a?2lnX2a，Ub?Xb??2lnX1b?lnX2b，假定a最初的资源禀赋Ra??9，3?，即a6?，即b拥有12个X1和6个X2。拥有9个X1和3个X2；而b最初的资源禀赋为Rb??12，定义两种商品X1和X2的价格之比P1P2??，并标准化商品2的价格P2?1。证明：均衡的价格水平???0.5。[中国人民大学2011研]
AB?MRSXY解：根据帕累托最优条件MRSXY以及两种商品各自总数量的约束条件，可列出
如下方程组：
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12X1aXP?1b?121P2X2aX2bX1b?21?X1aX2b?9?X2a
由第一个方程得：4X1aX2b?X2aX1b，将第二、三个方程代入进去整理得：
12X1a?7X2a?X1aX2a ① 因为最优点和初始禀赋点的连线的斜率就是价格比率，因此有以下方程：
X2a?3PX?1?2a
9?X1aP22X1a整理得：
2X1a?3X2a?X1aX2a ②
结合①②式得X1a?X2a，于是：
???XP1?2a?0.5 P22X1a 跨考名师点评：从近几年的研究生入学考试试卷来看，一般均衡理论相关知识点的 重要性越来越突出，是考试的重点，也是考试的难点。在计算题解答过程中，一定要能 够熟练地利用所学知识点进行作答，掌握答题思路和提高解题能力。 相关考研真题有： 1．在两个消费者和两种商品的纯交换经济里，张三初始禀赋有9单位商品1和6 单位商品2；李四初始禀赋有18单位商品1和3单位商品2，他们具有共同的效用函数 U? X1,X2??X1X2,X1和X2表示商品1和商品2的数量。求： （1）达到竞争均衡的相对价格。 （2）表示帕累托最优分配的契约线表达式。[上海交通大学2011研] 2．甲和乙进行商品交换：甲拥有300个单位的商品x，但不拥有y；乙拥有200个 单位的商品但不拥有x；甲用商品x交换乙的商品y，已知甲的效用函数u?x,y??xy，y， v?x,y??xy，试问甲和乙的Pareto最优状态是怎样的？一般均衡下的乙的效用函数为 价格体系和交换结果又如何？[清华大学2005、2010研]
3．假设世界上有南国和北国两个国家，每个国家都生产x和y两种商品。南国的生产函数为xS?为xN?lx和yS?ly。l表示劳动力数量，并且总量为100单位。北国的生产函数
11lx和yN?ly，其劳动力总量也为100单位。 22 （1）计算南、北两国各自的生产可能性曲线（PPF）。
（2）假如劳动力不能自由流动，计算全球的生产可能性曲线。
（3）假如对外开放导致两个国家之间的劳动力可以自由流动，计算全球的生产可能性曲线，并比较两国等量生产x和y开放前后的全球总产量。[中国人民大学2012研] 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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解：（1）设lx单位的劳动力用于生产xS，则有100?lx单位的劳动力用于生产yS，则有
22xs?lx和ys?100?lx，两边同时平方相加得：xS?yS?100，此即为南国的生产可能性曲
22线。同理可得，北国的生产可能性曲线为：xN?yN?25。
（2）假如劳动力不能自由流动，两国的生产被有效的加以配置的前提条件是两国的边际转换率相等，即MRTN?MRTS，MRTN?dyNxdyx?N，MRTN?S?S。所以有： dxNyNdxSySxSxN ?ySyN2?yN?y?x?2? ① 从而有：
?xN?2S2S2222?yS?4?xN?yN 由（1）可得：xS? ②
由①②两式可得：
22???yNyN2? x?1?2??4xN?1?2?
xN?xN???2S 从而有：xS?2xN，yS?2yN
2222 令xT?xS?xN?3xN，因此有xT。同理，yT。因此，生产可能性边界方程为： ?9xN?9yN2222xT?yT?9?xN?yN??9?25?225
x （3）若lSx单位劳动用于生产xS，lN单位劳动用于生产xN，则有：lSx?1xlN?x，且21xlN?x，解2应满足劳动的边际产量相等，即：12lSx?1x4lNx，即有：lSx?4lN，代入lSx?得：lSx?故有：
1624216242xyx，lN?x。同理可得：lSy?y，lN?y。由于总的劳动数量为200，252525251624216242x?x?y?y?200 25252525 整理得：x2?y2?250
开放前，x与y产品的全球产量为x?y?x?y?55。
152；开放后，x与y产品的全球产量为2 跨考名师点评：该题跟尼科尔森《微观经济学理论-基本原理与扩展》第12章一道 课后习题非常相似。随着人大“802经济学综合”考题难度加大，推荐考生看看尼科尔森《微观经济学理论-基本原理与扩展》该书以及做课后习题。 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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