2019届高三数学总复习 平面向量概念与线性运算
一、基本理论 1．向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 7．向量的模：向量的长度也叫向量的模. 2．平面向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律： 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 a＋b＝b＋a ； (2)结合律： 平行四边形法则 求a与b的相反向量减法 －b的和的运算叫做a与b的差
二．向量的数乘运算及其几何意义
三角形法则 (a＋b)+c＝a +(b＋c) 1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0. 2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：
①??a＝????a；②(?＋?)a＝? a＋? a；③?(a＋b)＝?a＋?b.
??3．共线向量
共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa. 三、特别说明：解决向量的概念问题应关注以下七点： (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
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(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．
(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量． (5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈． (6)非零向量a与
aa的关系：是a方向上的单位向量． |a||a|(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小. 四、习题精选
题型一： 向量及与向量相关的基本概念 1． 判断下列命题是否正确，并说明理由：
（1）共线向量一定在同一条直线上。 （2）所有的单位向量都相等。
????
?
（ （ （ （ （
） ） ） ） ） ）
?
（3）向量a与b共线，b与c共线，则a与c共线。 （4）向量a与b共线，则a//b
??????
（5）向量AB//CD，则AB//CD。
（6） 平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量。（
2．给出命题
⑴零向量的长度为零，方向是任意的. ????⑵若a，b都是单位向量，则a＝b.
????????⑶向量AB与向量BA相等.
????????⑷若非零向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点共线.
以上命题中，正确命题序号是（ ）
A． ⑴ B．⑵ C．⑴⑶ D．⑴⑷
3．在正方形ABCD中，下列描述中正确的是（ ）
????????????????????????????????????????A．AB?BC B．AB?CD C．AC?2AB D．AB?BC?AB?BC 4．下列命题正确的是（ ）
??????A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点 ????C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
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???????????????????????5．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a?a?a0；②若a与a0平行，则a?a?a0；③若a与a0平行且a?1，
????则a?a0．上述命题中，假命题个数是（ ） A． 0
B．1
C．2
D．3
6．下列命题中正确的有：
????????⑴四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB?DC；
????????⑵向量AB与BA是两平行向量；
????????⑶向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上； ⑷单位向量不一定都相等； ??????⑸a与b共线，b与c共线，则a与c也共线； ⑹ 平行向量的方向一定相同；
( )
7．判断下列各命题是否正确
????(1)零向量没有方向 (2)若a?b，则a?b
(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
??????(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若a?b，b?c，则a?c； ??????(7)若a//b，b//c，则a//c
(8)若四边形ABCD是平行四边形,则AB?CD,BC?DA
??????(9) a?b的充要条件是|a|?|b|且a//b；
→”是“四边形ABCD为梯形”的（ ） 8. 在四边形ABCD中，“→AB＝2DC
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
9．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
????????①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
????????④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB?CD
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件； ⑥ 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
??10．平面向量a，b共线的充要条件是（ ）
????A．a，b方向相同 B．a，b两向量中至少有一个为零向量
?????B． ???R，b??a D．存在不全为零的实数?1，?2，?1a??2b?0
11．给出下列命题：
????①若a?b，则a?b；
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????????B，C，D是不共线的四点，则AB?DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ②若A，??????③若a?b，b?c，则a?c；
??????④a?b的充要条件是a?b且a∥b；
??????⑤若a∥b，b∥c，则a∥c； 其中正确的序号是 ．
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题型二: 向量的加、减法
????????????????12．化简(AB?CD)?(AC?BD)
13．化简下列各式：
???????1???⑴ 7(a?b)?8(a?b)；⑵ 2(a?2b?c)?(4a?3b?2c)
6?????????????14. 若3m?2n?a，m?3n?b，其中a，b是已知向量，求m，n. ????????????15．设P是△ABC所在平面内的一点，BC?BA?2BP，则（ ）
??????????????????A．PA?PB?0 B．PC?PA?0
??????????????????????C． PB?PC?0 D．PA?PB?PC?0
16.在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
?????????????????????????????????????????A．AB?DC B．AD?AB?AC C.AB?AD?BD D．AD?CB?0 ????17．D是?ABC的边AB上的中点，则向量CD?（ ）
????1????????1????????1????????1???? A．BC?BA B．?BC?BA C．?BC?BA D．BC?BA.
2222
18．根据图示填空：
AaDeBbmcEdC
??????⑴ a?b? ；⑵ e?b?d? ．
?????????????19．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC?CB?0，则OC?( ) ?????????????????1?????2????2???1???A． 2OA?OB B．?OA?2OB C．OA?OB D．?OA?OB
3333????????????????????????20．设D，E，F，分别是?ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC?2BD,CE?2EA,AF?2FB,
????????????????则AD?BE?CF与BC( )
A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
21．已知：D，E，F分别是?ABC的边AB，BC，CA的中点，则（ ）
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