高等数学
三、证明题（共 124 小题，）
2 5 1
1、设f (t) ? 2t 2 ??? 5t , 证明f (t) ? f () 。
t t t 2
2、
1 ? x y ? z
设f (x) ? ln , 证明f ( y) ??f (z) ? f ( ) (式中 y ? 1, z ? 1).
1 ? x 1 ? yz
3、设F (x) ? lg(x ? 1) , 证明当 y ? 1时有F ( y 2 ? 2) ? F ( y ? 2) ? F ( y) 。
4、设 f (t) ? et , 证明
f (x)
? f (x ? y) 。 f ( y)
x
5、 证明f ( x) ? (2 ??3) x ? (2 ??3) 是奇函数。 6、
设f (x) ? arctan x (?? ? x ? ??)，(x) ??
x ? a 1 ? ax
( a ? 1，x ? 1)，验证：f ?(x)? ??f (x) ? f (a) 。
7、 证明Sh2 x ? Ch2 x ? Ch2x 。 8、
验证2Shx ? Chx ? Sh2x。
9、 验证Sh(? ) ? ShCh? ChSh。
10、 验证Sh(
? ) ? ShCh? ChSh。 ? ) ? ChCh? ShSh。 ? ) ? ChCh? ShSh。
2
11、 验证Ch(
12、 验证Ch(
13、 验证1 ? th x ??
1
2
ch x
1 2
14、 验证1 ? cth x ? ??2。
sh x
15、
。
设数列?xn ?，?yn ?都是无界数列，zn ? xn yn，试判定：?zn ?是否也必是无界数列。
如肯定结论请给出证明，如否定结论则需举出反例。
16、
设a ，b 是两个函数，令a
1
1
n???
n?b
? a b ，b
n n
n???
n???
n?1
? n?1
an ? bn ，(n ? 1，2，?)试证明
2
lim an 存在，lim bn 存在，且lim an ? lim bn
17、
2)，x n?1 ? 2xn ? xn ．(n ? 1，2，??)，试证数列?x n ?收敛，并求极限lim x 设x1 ? (0，n
2
n???
18、
若在x0的某去心邻域内f (x) ? g(x)，且lim f (x) ? A，lim g(x) ? B ; 试证明A ? B．
x? x0
x? x0
19、
若在x0的某去心邻域内 f (x) ? ?(x)，且lim ?(x) ? 0，试证明lim f (x) ? 0
x? x0
x? x0
20、
1
试证明limcos 不存在。
x?0 x
21、
设当x ? x0时，f (x) ? ?，g(x) ? A( A ? 0)，试证明lim f (x)g(x) ? ??
x? x0
22、
设x ? x0，f (x) ? ?，g(x) ? A，试证明lim? f (x) ? g(x)? ? ??
x? x0
23、
设x ? x 时，f (x) ? ?，g(x) ? A( A是常数），试证明lim g(x) ? 0 0
x? x0 f (x)
24、
设有数列?a ?满足a
n
x? x0
? 0
； n
a n
an?1 ? r，0 ? r ? 1，试证明lim a ? 0
n
n??
25、
设lim f (x) ? A，lim g(x) ? B，且A ? B, 试证明：必存在x0的某去心邻域，使得
x? x0
在该邻域为f (x) ? g(x)
26、
设lim f (x) ? A( A ? 0)，试用\? ? ?\语言证明lim f (x) ? A ．
x? x0
x? x0
27、
n???
设有数列?a ?满足a ? 0且lim n an ? r，(0 ? r ? 1)，试按极限定义证明 n n lim a ? 0 n
n???
28、
a
设有数列?an ?满足an ? 0及lim n?1 ? r
n???an
29、
?
(0 ? r ? 1)，试证明lim a ? 0 n
n???
?
?
xn?1
? 0及lim 设lim x ? a存在，试证明： a ? 1． n
n???n???x n
30、
设当x ? x0时，f ( x)是比g( x)高阶的无穷小． 证明：当x ? x0时，f ( x) ? g( x)与g( x)是等价无穷小．
31、
设当x ? x0时，( x)、( x)是无穷小， 且( x) ? ( x) ? 0.
证明： ln?1 ?( x)? ? ln?1 ? ( x)??
与
32、
( x) ? ( x)是等价无穷小．
设当x ?
x0时，( x)，( x)是无穷小且( x) ? ( x) ? 0 证明：e
33、
( x )
? e
( x )
~ ( x) ? ( x)．
设当x ? x0时，( x)与( x)是等价无穷小，
f ( x)
且 lim ? a ? 1， lim f ( x) ?( x) ? A， x? x0 x? x0 ( x) g( x)
f ( x) ? ( x)
证明： lim ?
x? x0 g( x)
A．
34、
设 lim f ( x) ? A，且A ? 0，
x? x0
试证明必有x0的某个去心邻域存在，使得
1
在该邻域内 有界.
f ( x)
35、
设x ?
x0时，( x)与( x)是等价无穷小且 lim( x) ? f ( x) ? A
x? x0
证明： lim
x? x0
( x) ? f ( x) ? A
36、
若数列?an ?适合 an?1 ? an ? r(an ? an?1 ) (0 ? r ? 1)
求证：lim a n ?
n???
a2 ? ra1
．1 ? r
u?u0
x? x0
37、设 lim ?(x) ? u0，lim f (u) ??f (u0 ) , 证明：lim f ??(x)? ??f (u0 ) 。
38、
x? x0
39、
xn?1
设数列?xn ?适合 xn
n
用极限存在的＂夹逼准则＂证明数列的极限lim ? 0
n?? 2n
? 0 ? r ? 1, (r为定数）证明：lim x n
n???
?
40、
1? 3 1? 3? 5?(2n ? 1) 1 ? ， ，设x1 ? ，x 2 ?，?x n?
2 ? 4 ? 6?(2n) 2 ? 4 2
1
；(1) 证明：xn ??
2n ? 1
(2) 求极限lim x ． n
n???
41、
设x ?
n
1 1 1 1 ? ? ?? ? ，求证：lim x 存在.
nn?? 1 ? 1 3 ? 1 32 ? 1 3n ? 1
42、
1 1 1 设x ? 1 ? ? ? ? ? ，(n为正整数) 求证：lim x 存在．
nn n?? 22 32 n 2 x0xn
? 1 ? ? 1 ? ． ，?，x ? 1，x 设x
n?1 01
1 ? x 1 ? xn 0
证明极限lim x n 存在，并求出此极限值。
43、
n???
44、
1 a
? ( x ??)(其中a ? 0)， 设x1 ? 0，且x n?1 n x 2 n
证明极限lim x n 存在，并求出此极限值．
n???
45、
?
，证明lim x 存在，并求出此极限值。 设x1 ? 2 ，且xn?1 ??2 ? x n n
n???
46、
设x1 ? a ? 0，且xn?1 ??
47、
ax ，证明：lim x 存在，并求出此极限值 n n
n???
已知：lim f (x) ? A ? 0，试用极限定义证明：lim f (x) ? A ．
x? x0
x? x0
48、
设 lim f ( x) ? A，试证明：
x? x0
对任意给定的? 0，必存在正数，使得对适 含不等式0 ??x1 ? x0 ? ；0 ??x2 ? x0 ? 的一切 x1 、x2 ，都有 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 成立。
49、
若lim f (x) ? A，lim g(x) ? B，且B ? A
x? x0
x? x0
证明：存在点x0的某去心邻域，使得在该邻域内 g(x) ??f (x)
50、
设lim ?(x) ? u0，且?(x) ? u0，又lim f (u) ? A 试证：lim f ??(x)? ? A
x? x0 u?u0
x? x0
51、
x? x0
x? x0
设 lim f ( x) ? A，求证： lim f ( x) ? A ．
52、
设有两个数列?xn ?，?yn ?满足 (1) lim x ? 0； n
n???
(2) yn ? M
n???
( M为定数)．
试证明： lim( x n ? y n) ? 0．
53、
B ? A ? x 2
设lim x ? A，且B ? A ? C． n
n???
n
试证必有正整数N存在，使当n ? N时恒有
54、
? A ? C 成 立
2
用数列极限的定义证明lim
55、
? 0 n?? n!
1
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