分块矩阵行列式计算的若干方法（本科毕业原创论文）

引理1 设A是准三角形分块矩阵，即

?A11?AA=?21????AS10A22?AS2?A110??0?0??或A=?????????ASS??0?A12A22?0A1S??A2S??其中Aii(i=1,2,…,s)是?????ASS??ni阶方阵，则︱A︱=︱A11︱〃︱A22︱…︱Ass︱。

引理2 设A,B都是n阶方阵，则︱AB︱=︱A︱〃︱B︱=︱BA︱。[1]

1.2.3 矩阵的分块和分块矩阵的定义 设A是数域K上的分别包含

矩阵，B是K上

矩阵，将A的行分割r段，每段

个行，又将A的列分割为s段，每段包含

个列。于是A可用小块矩阵表示如下： 其中

为

，

矩阵。对B做类似的分割，只是要求它的行的分割法和

A的列的分割法一样。于是B可以表示为

，

其中

是

的矩阵。这种分割法称为矩阵的分块。

1.2.4分块矩阵的性质

?A1性质1[2] 设矩阵A是由如下分块矩阵组成 A=??B1??C1A2B2C2A3?B3?? C3??其中A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3都是s×t矩阵，又M是任一s阶方阵。对

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于矩阵

?A1 D=??B1?MC??C1A2B2?MCC2?B3?MC??

C3??A3则︱A︱=︱D︱

?ES证明：由??0??00ES00??A1?B0?〃??1ES??C1??A2B2C2A3??A1?B?MCB3?=??1C3????C1A2B2?MCC2?B3?MC?? C3??A3其中ES是s阶单位矩阵，对上式两边同时取行列式得： ︱A︱=︱D︱。

?A1性质2[3] 设方阵A是由如下分块矩阵组成 A=??B1??C1A2B2C2A3?B3?? C3??其中A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3都是s×t矩阵，又M是任一s阶方阵。对于矩阵

?A1B=??MB1??C1A2MB2C2A3?MB3?? 则︱B︱=︱M︱〃︱A︱ C3??证明：设ES为s阶单位矩阵，则

?ESB=??0??00M00??A1?B0?〃??1?ES???C1ES0M000〃︱A︱=︱ES︱〃︱M︱〃︱ES︱〃︱A︱ ESA2B2C2A3??ES?0B3?=??C3????00M00?0??〃A ES??于是︱B︱=00性质3 设方阵A和AT写成如下形式

?A1A=??B1??C1

A2B2C2A3??B1?ATB3?A =??1?C3???C16

B2A2C2B3?A3?? C3??

其中A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3都是s×t矩阵。 则︱AT︱=?

?A，当s为奇数时?证明：A可由AT中的B1，B2，B3与A1，A2，A3相应的两行对换而得到，而对换行列式的两行，行列式反号，故当s为偶数时，︱AT︱=︱A︱；当s为奇数时，︱AT︱=-︱A︱。

2、将分块矩阵分成方阵元素计算行列式

?A,当s为偶数时

2.1分块矩阵行列式计算的几种情况

2.1.1 分块矩阵的元素可逆

定理2.1 设A、B分别为m与n阶方阵，则（1）当A可逆时，有

AD

=︱A︱〃︱B-CA-1D︱； (2.1.1) CB

(2)当B可逆时，有

AD

=︱A-DB-1C︱〃︱B︱.[4] (2.1.2) CB

证：(1)根据分块矩阵的乘法，有

?E??CA?1?0?D??AD??A =?CB??0B?CA?1D?由引理知，两边取行列式即E??????得(2.1.1)。

(2)根据分块矩阵的乘法，有

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?E?DB?1???E??0?AD??A?DB?1C?CB?=?C???0??两边取行列式即得(2.1.2)。 B?注意：利用定理1解题时，要注意条件：矩阵A或B可逆。

推论2.1 设A,B,C,D分别是m,n,n×m和m×n矩阵。证明 （1）

EmCDB=︱B-CD︱； （2.1.3）

AD（2）= ︱A-DC︱； （2.1.4）

CEn证明：只需要在定理2.1的（1.1）中令A=Em,,即得（1.3）；在（1.2）中令B=En,即得（1.4）。

推论2.2 C,D分别是n×m和m×n矩阵。 证明

EmCDEn=︱En-CD︱=︱Em-DC︱. (2.1.5)

证明：在推论2.1的（2.1.3）中，令B=En,在（2.1.4）中，令A=Em，即得（2.1.5）。

例2.1 计算下面2n阶行列式

a??adc?cb?bd︱H2n︱=(a≠0)

解：令

c?d??a??b????,B=???，C=???,D=?? ??A=???????????????b?a????c????d?为n阶方阵。由于a≠0,故A为可逆方阵。

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