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＝2，∴c＝2. 答案 B
考向一 正态曲线的性质
【例1】?若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为1 . 42π
(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式； (2)求正态总体在(－4,4]的概率．
[审题视点] 要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．
解 (1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由是
1x2
φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)．
42π32(2)P(－4 11＝，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式2πσ2π·4 优秀学习资料 欢迎下载 解决此类问题的关键是正确理解函数 解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响． 2 【训练1】 设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1＞0)和N(μ2，σ2)(σ2＞0)的密度函数图象 如图所示，则有( )． A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2 解析 根据正态分布N(μ，σ2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较 优秀学习资料 欢迎下载 平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A. 答案 A 考向二 服从正态分布的概率计算 【例2】?设X～N(1,22)，试求 (1)P(－1 [审题视点] 将所求概率转化到(μ－σ，μ＋σ]．(μ－2σ，μ＋2σ]或[μ－3σ，μ＋3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解． 解 ∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2. (1)P(－1 1 ∴P(3 ＝2[P(1－4 ＝2[P(μ－2σ ＝2×(0.954 4－0.682 6) ＝0.135 9. (3)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)， 1 ∴P(X≥5)＝2[1－P(－3 ＝2[1－P(1－4 ＝2[1－P(μ－2σ ＝2×(1－0.954 4)＝0.022 8. 优秀学习资料 欢迎下载 求服从正态分布的随机变量在某个区 间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上． 【训练2】 随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ＜0)＝0.3，则P(ξ＜2)＝________. 解析 由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P(ξ＞2)＝P(ξ＜0)＝0.3，P(ξ＜2)＝1－0.3＝0.7. 答案 0.7 考向三 正态分布的应用 【例3】?20XX年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N(8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆． [审题视点] 根据正态密度曲线的对称性求解． 解 由题意可知ξ～N(8，σ2)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P(7≤ξ≤9)＝0.7，故P(7≤ξ≤9)＝2P(8≤ξ≤9)＝0.7，所以P(8≤ξ≤9)＝0.35，而P(ξ≥8)＝0.5，所以P(ξ＞9)＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180
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