南京师大附中2019-2020学年度第2学期
高二年级期中考试数学试卷
2020.05
注意事项：
1．本试卷共4页，包括单选题（第1题~第8题）、多选题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第题18
题）、解答题（第19题~第23题）四部分，本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.
2． 答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内，试题的答案写在答题纸上相应题
目的答题区内，考试结束后，交回答题纸.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
21. 若An=20，则n的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 函数f(x)=sin2x的导数是（ ）
A. 2cos2x B. ?2cos2x C. 2sin2x D. ?2sin2x 3. 若i为虚数单位，复数z满足z(1+i)=|3+4i|，则z的虚部为（ ）
5555i B. C. ?i D. ? 222214. 已知等差数列?an?，若a2，a4038是函数f(x)=x3?x2+mx+1的极值点，则a2020的值为（ ）
3 A.
A. 1 B. ?1 C. ?1 D. 0 5. 已知复数z满足z?1?3i=1，则z的最大值为（ ）
A. 1
B.2 C. 3 D. 4
6. 若kex?x?1?0恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）
A.(??,1] B.(0,1] C.(0,+?) D.[1,+?)
7. 某班联欢会原定的3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（ ）
A. 12
B. 20 C. 36 D. 120
8. 定义在R上的可导函数f(x)满足f?(x)?1，若f(m)?f(1?2m)?3m?1，则m 的取值范围是（ ）
1
A.(??,?1]
1B.(??,]
3C.[?1,+?)
1D.[,+?) 3二、多项选择题： 本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 若复数z满足(z+2)i=3+4i（i为虚数单位），则下列结论正确的有（ ） A. z的虚部为3 B. |z|=13 C. z的共轭复数为2+3i …… D. z是第三象限的点
10. 有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（ ） A. 如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B. 如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C. 如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法
D. 如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法
11. 已知函数f(x)定义域为[?1,5]，部分对应值如表，f(x)的导函数f?(x)的图像如图所示.
x ?1 0 2 0 4 2 5 1 f(x) 1 2 下列关于函数f(x)的结论正确的有（ ）
A.函数f(x)的极大值点有2个； B.函数在f(x)上[0,2] 是减函数；
C.若x?[?1,t] 时，f(x)的最大值是2，则t 的最大值为4；
D.当1?a?2 时，函数y=f(x)?a有4个零点；
12. 若函数f(x)的图像上存在两个不同的点A,B，使得曲线y=f(x)在这两点处的切线重合，称函数f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的有（ ）
A.y=ex?x
B.y=x4?x2 C.y=x3 D.y=x+sinx
三、填空题： 本题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 已知复数z满足z+14. 已知函数f(x)=3=0，则|z|=___________. zx，则f'(0)的值为___________. x2+315. 六个人从左至右排成一行，最右端只能排成甲或乙，最左端不能排甲，则不同的排法共有_____种（请用数字作答）.
2
16. 直线y=m与直线y=2x+3和曲线y=lnx 分别相交于A,B两点，则AB的最小值为__________. 17. 已知函数f(x)=ex(x?1)，则它的极小值为__________；若函数g(x)=mx ，对于任意的x1?[?2,2]，总存在x2?[?1,2]，使得f(x1)?g(x2)，则实数m的取值范围是__________.
18. 已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(?x)=f(x+2)，且当0?x?1时，f(x)=x3+x.若函数
h(x)=f(x)?t在[?4,0)x(0,4]上有4个不同的零点，则实数t的取值范围是__________.
四、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （12分）
设复数z1=2?ai(a?R),z2=4?3i. （1）若z1+z2是实数，求z1?z2； （2）若
20. （12分）
已知函数f(x)=x3?(a+6)x2+6ax+b(a,b?R).
（1）若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率为?2 ，求a,b的值； （2）若在区间(2,3)上，函数f(x)不单调，求a的取值范围.
1312z1 是纯虚数，求z1 的共轭复数. z23
21. （12分）
为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》、《微积分先修课程》、《数学探究》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的.
（1）求三位同学选择的课程互不相同的概率；
（2）求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数； （3）若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数.
22. （12分）
如图，某景区内有两条道路AB,AP,现计划在AP上选择一
点C，新建道路BC，并把ABC所在的区域改造成绿化区域. 已知?BAC=?6，AB=2km，AP=23km. 若绿化区域ABC改造
成本为10万元/km2，新建道路BC成本为10万元/km.
（1）①设?ABC=?，写出该计划所需总费用F(?)的表达式，并写出?的范围；
.②设AC=x，写出该计划所需总费用F(x)的表达式，并写出x的范围； （2）从上面两个函数关系中任选一个，求点C在何处时改造计划的总费用最小.
4
23.（12分）
设函数f(x)=lnx?ax(a?R),g(x)=xf(x). （1）若f(x)?0恒成立，求a的取值范围； （2）①若a=1，试讨论g(x)的单调性； 2e2②若g(x)=有两个不同的零点，求a的取值范围，并说明理由.
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