课时作业(三)
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、选择题
1．命题p：若ac>bc，则a>b；命题q：在△ABC中，若A≠B，则sin A≠sin B．则( ) A．p假、q真 C．“p或q”为假 答案：D
解析：因为p真、q真，所以p且q为真．故应选D. 2．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是( ) A．不存在x0∈R,2x0>0 B．存在x0∈R,2x0≥0 C．对任意的x∈R,2≤0 D．对任意的x∈R,2>0 答案：D
解析：根据命题的否定的定义，易知D正确． 故应选D.
3．(2020·烟台诊断)若命题p：?α∈R，cos(π－α)＝cos α，命题q：?x∈R，x＋1>0，则下面结论正确的是( )
A．p是假命题 C．p∧q是假命题 答案：D
解析：对于命题p，当α＝
π
时，有cos(π－α)＝cos α成立，故命题p是真命题；2
B．?q是真命题 D．p∨q是真命题
2
2
2
B．p真、q假 D．“p且q”为真
xx命题q显然正确，则?q是假命题，p∧q是真命题，p∨q是真命题．故应选D.
4．(2020·湖南长沙一中、师大附中等六校联考)下列说法中正确的是( ) A．“x>5”是“x>3”的必要不充分条件
B．命题“对?x∈R，恒有x＋1>0”的否定是“?x∈R，使得x＋1≤0” C．?m∈R，使函数f(x)＝x＋mx(x∈R)是奇函数
D．设p，q是简单命题，若p∨q是真命题，则p∧q也是真命题 答案：B
解析：“x>5”是“x>3”的充分不必要条件，故A错；B是正确的；函数f(x)＝x＋mx(x∈R)不可能是奇函数，故C错误；若p∨q是真命题，则p，q中至少有一个是真命题，但不能确定都是真命题，推不出p∧q也是真命题，故D错．故应选B.
5．(2020·衡水模拟)已知“命题p：?x0∈R，使得ax0＋2x0＋1<0成立”为真命题，则
2
2
22
2
实数a满足( )
A．[0,1) C．[1，＋∞) 答案：B
1
解析：解法一：当a＝0时，2x＋1<0，可得x<－，
2此时存在x0使ax0＋2x0＋1<0成立；
当a≠0时，要使?x0∈R，ax0＋2x0＋1<0成立， 只要4－4a>0，即a<1且a≠0即可． 综上所述，a<1.故应选B.
解法二：命题p的否定是“?x∈R，ax＋2x＋1≥0”．
当a＝0时，显然命题为假；a≠0时，命题?p为真的充要条件是a>0且Δ＝4－4a≤0，即a≥1.
故?p为真时a的取值范围A＝[1，＋∞)，故p为真时a的 取值范围是?RA＝(－∞，1)．故应选B. 6．下列有关命题的说法正确的是( )
A．命题“若x＝1，则x＝1”的否命题为“若x＝1，则x≠1” B．“x＝－1”是“x－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“?x∈R，使得x＋x－1<0”的否定是“?x∈R，均有x＋x－1>0” D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题 答案：D
解析：命题“若x＝1，则x＝1”的否命题为“若x≠1，则x≠1”，所以A错；由x2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
B．(－∞，1) D．(－∞，1]
－5x－6＝0，得x＝－1或x＝6，所以“x＝－1”是“x－5x－6＝0”充分不必要条件，所以B错；命题“?x∈R，使得x＋x－1<0”的否定是“?x∈R，均有x＋x－1≥0”，所以C错；因为原命题与逆否命题真假相同，易知D正确，故应选D.
7．给出下列四个命题：
π
①命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题为假命题；
4②命题p：?x∈R，sin x≤1，则?p：?x0∈R，使sin x0>1；
π
③“φ＝＋kπ(k∈Z)”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充要条件；
23
④命题p：“?x∈R，使sin x＋cos x＝”，命题q：“若sin α>sin β，则α>β”，
2那么(?p)∧q为真命题．
其中正确的个数是( )
2
2
A．1 C．3 答案：B
B．2 D．4
解析：①中的原命题为真，所以逆否命题也为真，所以①错误；②根据全称命题的否定π
是特称命题，知②正确；③当函数为偶函数时，有φ＝＋kπ，所以为充要条件，所以③
23?π?正确；④因为sin x＋cos x＝2sin?x＋?的最大值为2<，所以命题p为假命题，?p4?2?为真，三角函数在定义域上不单调，所以q为假命题，所以(?p)∧q为假命题，所以④错误．所以正确的个数为2.
故应选B.
8．(2020·湖北)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(?p)∨(?q) C．(?p)∧(?q) 答案：A
解析：?p表示甲没有降落在指定范围，?q表示乙没有降落在指定范围，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”，也就是“甲没有降落在指定范围”或“乙没有降落在指定范围”．故应选A.
9．下列命题中正确的是( ) A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“x＝5”是“x－4x－5＝0”的充分不必要条件
C．命题“若x<－1，则x－2x－3>0”的否定为：“若x≥－1，则x－2x－3≤0” D．已知命题p：?x∈R，x＋x－1<0，则?p：?x∈R，x＋x－1≥0 答案：B
解析：若p∨q为真命题，则p，q有可能一真一假，此时p∧q为假命题，故A错；易知由“x＝5”可以得到“x－4x－5＝0”，但反之不成立，故B正确；选项C错在把命题的否定写成了否命题；特称命题的否定是全称命题，故D错．
故应选B.
2
2
2
2
2
2
B．p∨(?q) D．p∨q
?1?x?1?－x?1?x?1?－x10．已知命题p1：函数y＝??－??在R为减函数，p2：函数y＝??＋??在R为
?2??2??2??2?
增函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(?p1)∨p2和q4：p1∧(?p2)中，真命题是( )
A．q1，q3 C．q1，q4
B．q2，q3 D．q2，q4
答案：C
?1?xx解析：因为函数y＝??－2是R上的减函数，所以命题p1是真命题； 因为x＝1和x?2?
15?1?xx＝－1时，都有y＝＋2＝，所以函数y＝??＋2不是R上的增函数，故p2是假命题，所
22?2?以p1∨p2是真命题，p1∧p2是假命题，(?p1)∨p2是假命题，p1∧(?p2)是真命题，所以真命题是q1，q4，
故应选C. 二、填空题
11．命题“对任意k>0，方程x＋x－k＝0有实根”的否定是________． 答案：存在k>0，方程x＋x－k＝0无实根
解析：全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定是“存在k>0，方程x＋x－k＝0无实根”．
12．(2020·皖南八校第三次联考)已知p和q都是命题，则命题“p∨q为真命题”是命题“p∧q为真命题”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”四者之一)
答案：必要不充分
解析：p∨q为真，二者至少有一个为真，p∧q为真，二者均为真，故“p∨q为真”?“p∧q为真”，所以填“必要不充分”．
13．若命题“?x∈R，ax－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________． 答案：[－8,0]
解析：由题意，ax－ax－2≤0对?x∈R恒成立． (1)当a＝0时，－2≤0，符合题意．
??a<0，
(2)当a≠0时，只需?2
?Δ＝a＋8a≤0，?
2
2
2
2
2
解得－8≤a<0，
由(1)(2)可知，实数a的取值范围是[－8,0]．
14．(2020·潍坊模拟)已知命题p：?x∈[0,1]，a≥e，命题q：“?x∈R，x＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
答案：[e,4]
解析：因为?x∈[0,1]，a≥e，所以a≥e.
由“?x∈R，x＋4x＋a＝0”，可得判别式Δ＝16－4a≥0，即a≤4. 若命题“p∧q”是真命题，则p，q同时为真， 所以e≤a≤4.
2
x2
x15．下列结论：
12
①若命题p：?x0∈R，tan x0＝2，命题q：?x∈R，x－x＋>0，则命题“p∧(?q)”
2是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3； ③“设a，b∈R，若ab≥2，则a＋b>4”的否命题为：“设a，b∈R，若ab<2，则a＋b≤4”．
其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上) 答案：①③
解析：在①中，命题p是真命题，命题q也是真命题，故“p∧(?q)”是假命题是正确的．在②中，l1⊥l2?a＋3b＝0，所以②不正确．在③中，“设a，b∈R，若ab≥2，则a＋b>4”的否命题为“设a，b∈R，若ab<2，则a＋b≤4”，正确．
三、解答题
16．(2020·浙江金华一模)已知命题p：“存在a>0，使函数f(x)＝ax－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使?x∈R,16x－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．
－422
解：若p为真，则对称轴x＝－＝在区间(－∞，2]的右侧，即≥2，
2aaa∴0 若q为真，则方程16x－16(a－1)x＋1＝0无实数根， ∴Δ＝[16(a－1)]－4×16<0， 13 ∴ ∵命题“p∧q”为真命题， 0 ∴ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ab ?1?故实数a的取值范围为?，1?. ?2? 17．已知p：方程x＋mx＋1＝0有两个不相等的负实数根；q：不等式4x＋4(m－2)x＋1>0的解集为R.若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围． ??Δ＝m－4>0， 解：若p为真命题，则? ?－m<0，? 2 2 2
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