命题 8
设角BAC是一个已知直线角，要求二等分这个角.
设在AB任意取一点D，在AC上截取AE等于AD;【命题3】连接DE，且在DE上作一个等边三角形DEF，连接AF.
则可证角BAC被AF所平分.
因为AD等于AE，且AF公用，两边DA，AF分别等于两边EA，AF 又底DF，等于底EF;
所以，角DAF等于角EAF【命题7】 从而，直线AF，二等分已知直线角BAC. 作完。
? 【命题9】命题：二等分已知有限直线.
命题 9
设AB是已知有限直线，那么，要求二等分有限直线AB. 设在AB上作一个等边一角形ABC【命题1】.
且设直线CD二等分角ABC .则可证线段AB被点D二等分.【命题8】 事实卜，由于AC等于CB，且CD公用，两边AC，CD分别等于两边BC，CD且角ACD等于角BCD
所以，底AD等于底BD。【命题4】 从而，将已知有限直线AB二等分于点D 作完。
? 【命题10】命题：由已知直线上的一已知点作一直线和已知直线成直角。
命题 10
证明：
设AB是已知直线，C是它边上的已知点。那么，要求由点C作一直想和直线AB成直角。
设在AC上任取一点D，且使CE等于CD。【命题3】 在DE上作一个等边三角形FDE。【命题1】 连接FC。
则可证明直线FC就是由已知直线AB上的已知点C作出的和AB成直角的直线。
事实上，因为DC等于CE，且CF公用；两边DC，CF分别等于两边EC，CF；且底DF等于底FE。
所以，角DCF等于角ECF。【命题7】
它们又是临角。由【定义1】知角DCF，FCE每一个都是直角。 从而，由已知直线AB上的已知点C作出的直线CF和AB成直角。 作完。
? 【命题11】命题：一条直线和另一条直线所交成的角，或者是两个直角或者
它们的和等于两个直角。
命题 11
证明：
设任意直线AB在直线CD的上侧和它交成角CBA，ABD。 则可证角CBA，ABD或者都是直角或者其和等于两个直角。 现在，若角CBA等于角ABD，那么它们是两个直角。【定义1】
但是，假若不是，设BE是由点B所作的和CD成直角的直线。【命题10】 于是角CBE，EBD是两个直角。
这时因为角CBE等于两个角CBA，ABE的和，给它们各加上角EBD；则角CBE，EBD的和就等于三个角CBA，ABE，EBD的和。【公理2】
再者，因为角DBA等于两个角DBE，EBA的和，给它们各加上角ABC；则角DBA，ABC的和就等于三个角DBE，EBA，ABC的和。【公理2】
但是，角CBE，EBD的和也被证明了等于相同的三个角的和。 由【公理1】
故角CBE，EBD的和也等于角DBA，ABC的和，但是角CBE，EBD的和是二直角。
所以，角DBA，ABC的和也等于二直角。 证完。
? 【命题12】命题：如果过任意直线上一点有两条直线不在这一直线的同侧，
且和直线所成邻角和等于二直角，则这两条直线在同一直线上。
命题 12
证明：
因为，过任意直线AB上面一点B，有二条不在AB同侧的直线BC，BD成邻角ABC，ABD，其和等于二直角。
则可证BD和BC不在同一直线上，设BE和CB在同一直线上，因为，直线AB位于直线CBE之上，角ABC，ABE的和等于二直角【命题11】
但是，角ABC，ABD的和也等于二直角，所以，角CAB，ABE的和等于角CAB，ABD的和。【共设4和公理1】
由它们中各减去CAB，于是余下的角ABE等于余下的角ABD。【公理3】 这时，小角等于大角；这是不可能的。 所以，BE和CB不在一直线上。
类似的。我们可以证明BD外再没有其他的直线和CB在同一条直线上。
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