证明：
设ABC，DEF'是两个三角形，其中两角ABC，BCA分别等于两角DEF，EFD，即角
ABC等于角DEF，且角BCA等于角EFD;又设它们还有一边等于一边，首先假定它们是等角所夹的边，即BC等于EF.
则可证它们的其余的边也分别等于其余的边，即AB等于DE，AC等于DF，且其余的角也等于其余的角，即角BAC等于EDF .
因为，如果AB不等于DE，其中一个大于另一个.令AB是较大的，取BG等于DE;且连接GC.
则因BG等于DE，且BC等于EF，两边GB，BC分别等于DE，EF而且角GBC等于角DEF所以底GC等于底DF.
又三角形GBC全等于三角形DEF，这样其余的角也等于其余的角，即那些与等边相对的角对应相等.【命题4】
所以角GCB等于角DEF.
但是，由假设DEF等于角BCA，所以角BCG等于角BCA,则小的等于大的；这是不可能的.
所以AB不是不等于底DE，
因而等于它，但是，BC也等EF，故两边AB分别等于两边DE，EF ,且角ABC等于角DEF所以，底AC等于底DF。且其余的角BAC等于其余的角EDF.【命题4】
再者，设对着等角的边相等，例如AB等于DE.
则可证其余的边等于其余的边，即AC等于DF且BC等于EF，还有其余的角BAC等于其余的角EDF.
事实上，如果BC不等于EF，其中有一个较大.
设BC是较大的，如果可能的话，且令BH等于EF;连接AH.那么，因为BH等于EF，且AB等于DE ,两边AB , BH分别等于两边DE，EF,且它们所夹的角相等;
所以底AH等于底DF。而三角形ABH全等于三角形DEF，并且其余的角将等于其余的角，即那些对等边的角相等;【命题4】
所以角BHA等于角EFD，但是角EFD等于角BCA;于是，在三角形AHC中，外角BHA等于内对角BCA，
这是不可能的，【命题14】
所以BC不是不等于EF,于是就等于它.
但是，AB也等于DE，所以两边AB，BC分别等于两边DE，EF而且它们所夹的角也相等;
所以，底AC等于DF,
三角形ABC全等于三角形DEF,且其余的角BAC等于其余的角EDF【命题4】 证完。
? 【命题18】如果一直线和两直线相交所形成的错角彼此相等，则这二直线互
相平行。
命题 18
设直线EF和二直线AB，CD相交成错角AEF，EDF彼此相等。 则可证明AB平行于CD。
事实上，若不平行，当延长AB，CD时，它们或者在B，D方向或者在A，C方向相交于G，那么，在三角形GEF中，外角AEF等于角EGF；这是不可能的。【命题14】
所以，AB，CD经延长后在B，D方向不相交。 类似的，可以证明它们不在A，C一方相交。
但是，二直线既然不在任一方相交，就是平行。【定义4】
所以AB平行于CD。 证完。
? 【命题19】命题：一条直线与两条平行直线相交，则所成的内错角相等，同
位角相等，且同旁内角的和等于二直角.
命题 19
证明：
设直线EF与两条平行直线AB，CD相交。
则可证错角AGH，GHD相等;同位角EGB，GHD相等;且同旁内角BGH，GHD的和等于二直角.
事实上，若角AGH不等于角GHD，设其中一个较大，设较大的角是AGH.给这二个角都加上角AGH，则角AGH，BGH的和大于BGH，GHD的和。
但是角AGH，BGH的和等于二直角故角BGH，GHD的和小于二直角，【命题11】但是将二直线无限延长，则在二角的和小于二直角这，侧相交.【共设5】 所以，若无限延长AB，CD则必相交，但它们不相交，因为，由假设它们是平行的.故角AGH不能不等于角GHD,即它们是相等的。
又，角AGH等于角GHD【命题13】 所以，角EGB也等于角GHD.【公理1】
给上面两边各加角BGH，则角EGB，BGH的和等于角BGH，GHD和.【公理2】 但角EGB，BGH的和等于二直角.所以，角BGH，GHD和等于二直【命题11】 证完
? 【命题20】过已知一点作一直线平行于已知直线
命题 20
设A是一已知点，BC是已知直线。于是，要求经过这个点A作一直线平行
于直线BC。
在BC上任取一点D，连接AD；在直线DA上的点A，作角DEA等于角ADC。【命题16】
而且设直线AF是直线EA的延长线。
这样，直线AD就和两条直线BC，EF相交成彼此相等的错角EAD，ADC。 所以，EAF平行于BC【命题18】
从而，经过已知点A作出了一条平行于已知直线BC的直线EAF。 作完。
? 【命题21】命题：在平行四边形面片中，对边相等，对角相等且对角线二等
分其面片。
命题 21
证明：
设ABCD是平行四边形面片，BC是对角线。
相关推荐：
loading