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《不等式》常见考试题型总结
一、高考与不等式
高考试题，有关不等式的试题约占总分的12% 左右，主要考查不等式的基本知识，基本技能，以
及学生的运算能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力．选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，还可能与函数、方程等内容相结合的小综合．解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。不等式常与下列知识相结合考查：
①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；
②解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题；
③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查．
二、常见考试题型
（1）求解不等式解集的题型
（分式不等式的解法，根式不等式的解法，绝对值不等式的解法，含参不等式的解法，简单的一元高次不等式的解法） （2）不等式的恒成立问题
（不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想，分离变量法，数形结合法） （3）不等式大小比较
常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；
5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。
（4）不等式求函数最值 技巧一：凑项 例：已知x?5，求函数y?4x?2?1的最大值。 44x?5技巧二：凑系数
例. 当时，求y?x(8?2x)的最大值。
技巧三： 分离
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x2?7x?10(x??1)的值域。 例. 求y?x?1技巧四：换元
x2?7x?10(x??1)的值域。 例. 求y?x?1技巧五：函数的单调性
（注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)?x?例：求函数y?a的单调性。） xx2?5x?42的值域。
技巧六：整体代换
（多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。） 例：（1）已知x?0,y?0，且
?19??1，求x?y的最小值。 xy（2）若x,y?R且2x?y?1，求1?1的最小值
xy?(3)已知a,b,x,y?R且a?b?1，求x?xyy的最小值
技巧七、利用sin??cos??1转换式子 技巧八、已知x，y为正实数，且x＋
2
22y 2
2
＝1，求x1＋y 的最大值.
2
分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤2
2
a 2＋b 2
2
。
1＋y2· ＝2 x·
2
2
12
同时还应化简1＋y 中y前面的系数为 ， x1＋y ＝x 2下面将x，1y ＋ 分别看成两个因式： 22
2 21y ＋ 22
2
x·2
x＋( 2
1y ＋ ≤22
1yy12 2
＋ )x＋ ＋ 222232
＝ ＝ 即x1＋y ＝2 ·x
224
1
2 2
1y3
＋ ≤ 224
2
技巧九：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝
ab 的最小值.
这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，
一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解 二是直接用基本不等式。
例：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 技巧十：取平方
例、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x ＋2y 的最值. （5）证明不等式
常用方法：比较法、分析法、综合法和放缩法。
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基本不等式—最值求法的题型
基础题型一：指数类最值的求法 1. 已知a?b?3，求3a?3b的最小值。 变式1.已知a?2b?3，求3a?9b的最小值。
1的最小值。 3y1变式3.已知x?2y??3，求2x?y的最小值。
411变式4.已知点(x,y)在直线y?x?1上，求3x?y的最小值。
29
基础题型二：对数类最值的求法
变式2.已知x?y?2，求3x?2. 已知x?0,y?0，且2x?y?4，求log2x?log2y的最大值。 变式1.已知x?0,y?0，且x?2y?4，求log1x?log13y的最小值。
22变式2.已知点(x,y)是圆x2?y2?6在第一象限内的任一点，求log3x?log
能力题型一：常数变形（加或减去某个常数使两个因式的积为常数）
11. 已知x?2,求f(x)?x?1?的最小值。
x?24变式1.已知x?3,求f(x)?2x?3?的最小值。
x?24变式2.已知x?1,求f(x)?2x?的最大值。
x?1
能力题型二：代换变形（把整式乘到分式中去以便于用基本不等式）
211. 已知x?0,y?0,且x?2y?1，求?的最小值。
xy232. 变式1.已知x?0,y?0,且2x?y?3，求?的最小值。
xy12变式2.已知x?0,y?0,且x?3y??2，求?的最大值。
xy3y的最大值。
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能力题型三：指数与系数的变形（调整字母的系数和指数） 1. 已知x?0,y?0,且2x2?y2?1，求x1?2y2的最大值。 变式1.已知x?0,y?0,且x2?2y2?3，求2x1?y2的最大值。 变式2.已知a?0,b?0,且a2?b2?3，求?a1?2b2的最小值。 能力题型四：对勾函数及其应用
11【对勾函数】y?x?，由x?得顶点的横坐标为x??1。
xxbbb。 y?ax?,由ax?得顶点的横坐标为x??axxy?ax?bbbb得顶点的横坐标为x?1?。 ?a(x?1)??a,由a(x?1)?ax?1x?1x?12例1.求y?x? (x?[1,4])的值域。
x2变式1.求y?x? (x?[?2,?1])的值域。
x2变式2.求y?3x? (x?[2,4])的值域。
x4例2.求y?x? (x?2)的值域。
x?1
1变式1.求y?2x? (x?3)的值域。
x?2
2变式2.求y?x? (x??2)的值域。
x?1
4?例3.求y?sinx? (0?x?)的值域。
sinx2
4变式1.求y?sinx? (0?x??)的值域。
sinx?1
2 (0?x??)的值域。 变式2.求y?cosx?cosx?1
基本不等式例题
例1. 已知
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, 且，求的最小值及相应的值.
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例2. 的最小值为________。
例3．已知（ ） 例4．函数
，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是
的图象恒过定点，若点在直线上，则
的最小值为_________．
例5. 若，则的最小值是（ ）
例6．下列各函数中，最小值为2的是( )
A
B. C. D.
例7（1）已知x?51，求函数y?4x?2?的最大值. 44x?52422（2）求函数y?x?2的最小值求y?4?x?2的最大值.
x?1x?2
练习. 设例8.已知
，则,
，且
的最大值为
. 求
的最大值及相应的
的值
例9若x，y是正数，则(x?121)?(y?)2的最小值是 2y2x2
2
练习：已知实数x，y满足x+y－1=0，则x+y的最小值
ab
例10.若实数a、b满足a+b=2，是3+3的最小值是
基本不等式证明
例 已知a，b为正数，求证：
ab?ba≥a?b．
例
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