四川省成都七中育才学校2018-2019学年九年级(上)第七周周测数学试卷(解析版)

四川省成都七中育才学校2018-2019学年九年级（上）第七周周测数学试卷（解析版）

2018-2019学年四川省成都七中育才学校九年级（上）第七周周测数学

试卷

一．选择题（每小题3分，共30分）

1．将方程x2﹣2x＝2配成（x+a）2＝k的形式，则a＝（ ） A．1 2．已知A．

，那么

B．2

的值为（ ） B．

C．

D．﹣

C．4

D．﹣1

3．实数，2π，tan45°，A．2

B．3

，cos60°，sin45°，中无理数的个数有（ ）个．

C．4

D．5

4．如果线段AB＝1，点C是AB上靠近点B的黄金分割点，则AC的值为（ ） A．

B．

C．

D．

或

5．兴义市2014年财政总收入为60亿元，2016年财政总收入达80亿元，若平均每年的增长率为x，则可以列出方程为（ ） A．60（1+x）2＝80 C．60（1+x）（1+2x）2＝80

B．（60+x%）2＝80 D．60（1+x%）2＝80

6．下列函数中，y与x之间是反比例函数关系的是（ ） A．xy＝

B．3x+2y＝0

C．y＝

D．y＝

7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝A．

B．

，则sinA的值为（ ） C．

D．

＝

③

8．E分别在△ABC的AB，AC边上，如图，点D，增加下列哪些条件，①∠AED＝∠B②＝

，使△ADE与△ACB一定相似（ ）

A．①② B．② C．①③ D．①②③

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9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE．则＝（ ）

A． B． C． D．

10．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△ABC沿AC折叠，点B落到E点，此时AE交CD于F，则AF：EF＝（ ）

A．24：7 B．25：7 C．2：1 D．3：1

二．填空题（每小题4分，共16分）

11．一元二次方程 （3﹣2x）2＝3﹣2x的解是 ．

12．反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（3，5），若点（﹣5，n）在反比例函数的图象上，则n等于 ．

13．比较大小：cos35° sin65°． 14．小明同学沿坡度为i＝1：三．解答题（共54分） 15．（10分）计算下列各题 （1）解方程：x2﹣4x﹣3＝0 （2）（）﹣1﹣2tan45°+4sin60°﹣16．（6分）先化简，再求值：

，其中a2﹣4a+2＝0

的山路向上行走了100米，则小明上升的高度是 米．

17．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．

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（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．

18．（8分）某水果批发商场经销一种高档水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价3元，日销售量将减少60千克； （1）为了获得6000元的利润，同时考虑顾客的利益，那么应该涨价多少元？

（2）通过涨价可以使利润达到10000元吗？如果能，应涨价多少元？如果不能，请说明理由． 19．（10分）如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，求A，B之间的距离．（结果精确到0.1海里）．

≈1.732，

20．（12分）已知Rt△ABC中，AC＝BC＝2．一直角的顶点P在AB上滑动，直角的两边分别交线段AC，BC于E．F两点

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（1）如图1，当（2）如图2，当

＝且PE⊥AC时，求证：＝；

＝1时（1）的结论是否仍然成立？为什么？

（3）在（2）的条件下，将直角∠EPF绕点P旋转，设∠BPF＝α（0°＜α＜90°）．连结EF，当△CEF的周长等于2+

时，请直接写出α的度数．

B卷

21．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD＝ ．

22．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，F为DE中点，若点D在直线BC上运动，连接CF，则在点D运动过程中，线段CF的最小值是 ．

23．（12分）在平面直角坐标系中，BC∥OA，BC＝3，OA＝6，AB＝3（1）直接写出点B的坐标；

（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2BE，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式；

（3）在（2）的条件下，点M是直线DE上的一点，在x轴上方是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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周测数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（每小题3分，共30分）

1．将方程x2﹣2x＝2配成（x+a）2＝k的形式，则a＝（ ） A．1

B．2

C．4

D．﹣1

【分析】先把方程两边加上1，然后把方程左边配成完全平方的形式，从而得到a的值． 【解答】解：x2﹣2x+1＝3， （x﹣1）2＝3． 所以a＝﹣1． 故选：D．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 2．已知A．

，那么

的值为（ ） B．

C．

D．﹣

【分析】直接利用已知把a，b用同一未知数表示，进而计算得出答案． 【解答】解：∵

，

∴设a＝4x，则b＝5x， 那么

＝

＝．

故选：C．

【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出a，b的值是解题关键． 3．实数，2π，tan45°，A．2

B．3

，cos60°，sin45°，中无理数的个数有（ ）个．

C．4

D．5

【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【解答】解：tan45°＝1，

＝4，cos60°＝，sin45°＝

，

其中2π，cos60°，sin45°是无理数，

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故选：B．

【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，

，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．

4．如果线段AB＝1，点C是AB上靠近点B的黄金分割点，则AC的值为（ ） A．

B．

计算即可．

C．

D．

或

【分析】根据黄金比值是

【解答】解：∵点C是AB上靠近点B的黄金分割点， ∴AC＞BC， ∴AC＝故选：B．

【点评】本题考查的黄金分割，掌握黄金比值为

是解题的关键．

AB＝

，

5．兴义市2014年财政总收入为60亿元，2016年财政总收入达80亿元，若平均每年的增长率为x，则可以列出方程为（ ） A．60（1+x）2＝80 C．60（1+x）（1+2x）2＝80

B．（60+x%）2＝80 D．60（1+x%）2＝80

【分析】2016年财政总收入＝2014年财政总收入×（1+增长率）2，把相关数值代入即可． 【解答】解：2015年财政总收入为60×（1+x），

2016年财政总收入为60×（1+x）×（1+x）＝60×（1+x）2， 可列方程为60（1+x）2＝80， 故选：A．

【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b． 6．下列函数中，y与x之间是反比例函数关系的是（ ） A．xy＝

B．3x+2y＝0

C．y＝

D．y＝

【分析】根据反比例函数的定义，解析式符合y＝（k≠0）的形式为反比例函数． 【解答】解：A、xy＝

属于反比例函数，故此选项正确；

B、3x+2y＝0是一次例函数，故此选项错误；

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C、y＝（k≠0），不属于反比例函数，故此选项错误； D、y＝故选：A．

【点评】本题考查了反比例函数的定义，注意在解析式的一般式y＝（k≠0）中，特别注意不要忽略k≠0这个条件．

7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝A．

B．

，则sinA的值为（ ） C．

D．

，是y与x+1成反比例，故此选项错误．

【分析】作出图形，根据∠A的余弦设AC＝5k，AB＝13k，利用勾股定理列式求出BC＝12k，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式即可． 【解答】解：如图，∵∠C＝90°，cosA＝∴设AC＝5k，AB＝13k， 根据勾股定理得，BC＝所以，sinA＝故选：D．

＝

＝

．

＝

＝12k，

，

【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，同角三角函数的关系，掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键． 8．E分别在△ABC的AB，AC边上，如图，点D，增加下列哪些条件，①∠AED＝∠B②＝

，使△ADE与△ACB一定相似（ ）

＝

③

A．①② B．② C．①③ D．①②③

【分析】根据相似三角形的判定方法即可一一判断；

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【解答】解：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B， ∴△AED∽△ABC，故①正确， ∵∠A＝∠A，

＝

，

∴△AED∽△ABC，故③正确， 由②无法判定△ADE与△ACB相似， 故选：C．

【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．

9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE．则＝（ ）

A． B． C． D．

【分析】由点D，E分别是边AC，AB的中点，推出DE∥BC，DE＝BC，推出△DEO∽△BCO，可得

＝

＝，推出OD：DB＝1：3，由此即可解决问题；

【解答】解：∵点D，E分别是边AC，AB的中点， ∴DE∥BC，DE＝BC， ∴△DEO∽△BCO， ∴

＝

＝，

∴OD：DB＝1：3， ∴

＝，

故选：B．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

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10．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△ABC沿AC折叠，点B落到E点，此时AE交CD于F，则AF：EF＝（ ）

A．24：7 B．25：7 C．2：1 D．3：1

【分析】根据折叠的性质得到AE＝AB，∠BAC＝∠EAC，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到FD＝FE，根据勾股定理计算即可．

【解答】解：由折叠的性质可知，AE＝AB，∠BAC＝∠EAC， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA， ∴∠EAC＝∠DCA， ∴FA＝FC， ∴FD＝FE，

在Rt△AFD中，AF2＝AD2+DF2，即AF2＝32+（4﹣AF）2， 解得，AF＝∴DF＝4﹣

， ＝，

∴AF：EF＝AF：DF＝25：7， 故选：B．

【点评】本题考查的是翻转变换的性质、矩形的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 二．填空题（每小题4分，共16分） 11．一元二次方程 （3﹣2x）2＝3﹣2x的解是

或1 ．

【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案． 【解答】解：（3﹣2x）2﹣（3﹣2x）＝0， （3﹣2x）（3﹣2x﹣1）＝0， ∴3﹣2x＝0或2﹣2x＝0，

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∴x＝或x＝1， 故答案为：或1

【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．

12．反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（3，5），若点（﹣5，n）在反比例函数的图象上，则n等于 ﹣3 ．

【分析】把点（3，5）代入y＝（k≠0），求出k，即可得出反比例函数的解析式，把点（﹣5，n）代入函数解析式，即可求出n．

【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（3，5）， ∴代入得：k＝3×5＝15， 即y＝

，

∵点（﹣5，n）在反比例函数的图象上， ∴代入得：n＝故答案为﹣3．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和用待定系数法求出反比例函数的解析式，能求出函数的解析式是解此题的关键． 13．比较大小：cos35° ＜ sin65°．

【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得正弦函数，根据正弦函数随锐角的增大而增大，可得答案．

【解答】解：cos35°＝sin（90﹣35）°＝sin55°， 由正弦函数随锐角的增大而增大，得 sin55°＜sin65°， 即cos35°＜sin65°． 故答案为：＜．

【点评】本题考查了锐角三角函数的增加性，利用一个角的余弦等于它余角的正弦得出正弦函数是解题关键．

14．小明同学沿坡度为i＝1：

的山路向上行走了100米，则小明上升的高度是 50

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米．

＝﹣3，

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【分析】由斜坡的坡度i＝1：＝，可得坡角α的度数，再求得斜坡的正弦值sinα，那么它垂

直上升的高度可利用正弦函数求得． 【解答】解：∵斜坡的坡度i＝1：∴坡角α＝60°， ∴斜坡的正弦值sinα＝

，

（米）． ＝

，

∴小明上升的高度是100×sinα＝50故答案为50

．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣﹣坡度坡角问题，根据坡度求出坡角是解题的关键．坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h：l＝tanα． 三．解答题（共54分） 15．（10分）计算下列各题 （1）解方程：x2﹣4x﹣3＝0 （2）（）﹣1﹣2tan45°+4sin60°﹣【分析】（1）利用配方法解方程；

（2）根据负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值计算． 【解答】解：（1）x2﹣4x＝3， x2﹣4x+4＝7， （x﹣2）2＝7， x﹣2＝±所以x1＝2+

，

，x2＝2﹣

； ﹣2

（2）原式＝2﹣2×1+4×＝0．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了实数的运算． 16．（6分）先化简，再求值：

，其中a2﹣4a+2＝0

【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据a2﹣4a+2＝0，即可求得所求式子

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的值． 【解答】解：＝[＝

]

＝

＝＝＝

，

∵a2﹣4a+2＝0， ∴a2﹣4a＝﹣2， ∴原式＝

．

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

17．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．

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【分析】（1）画出A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1即可解决问题；

（2）连接OB延长OB到B2，使得OB＝BB2，同法可得A2、C2，△A2B2C2就是所求三角形； 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1就是所求三角形

（2）如图所示，△A2B2C2就是所求三角形

如图，分别过点A2、C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线，交点分别为E、F， ∵A（﹣1，2），B（2，1），C（4，5），△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2， ∴A2（﹣2，4），B2（4，2），C2（8，10）， ∴

＝8×10﹣×6×2﹣×4×8﹣×6×10＝28．

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【点评】本题考查作图﹣位似变换，作图轴对称变换等知识，解题的关键是理解位似变换、轴对称变换的定义，属于中考常考题型．

18．（8分）某水果批发商场经销一种高档水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价3元，日销售量将减少60千克； （1）为了获得6000元的利润，同时考虑顾客的利益，那么应该涨价多少元？

（2）通过涨价可以使利润达到10000元吗？如果能，应涨价多少元？如果不能，请说明理由． 【分析】（1）设应该涨价x元/千克，则每天可售出（500﹣

）千克，根据每千克的利润×日销

售量＝日销售利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）同（1）可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣775＜0，即可得出不能通过涨价可以使利润达到10000元．

【解答】解：（1）设应该涨价x元/千克，则每天可售出（500﹣根据题意得：（10+x）（500﹣整理得：x2﹣15x+50＝0， 解得：x1＝5，x2＝10， ∵同时考虑顾客的利益， ∴x＝5．

答：应该涨价5元/千克． （2）不能，理由如下：

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）＝6000，

）千克，

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根据题意得：（10+x）（500﹣整理得：x2﹣15x+250＝0，

）＝10000，

∵△＝（﹣15）2﹣4×1×250＝﹣775＜0， ∴该方程无解，

∴不能通过涨价可以使利润达到10000元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19．（10分）如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，求A，B之间的距离．（结果精确到0.1海里）．

≈1.732，

【分析】作DE⊥AB于E，根据直角三角形的性质得到DE＝AB，设DE＝x海里，根据正切的定义求出CE，根据题意列出方程，解方程即可． 【解答】解：作DE⊥AB于E， 由题意得，∠DBA＝∠DAB＝45°， ∴∠ADB＝90°， ∴DE＝AB，

设DE＝x海里，则AB＝2x海里， ∵∠DCE＝30°， ∴CE＝

DE＝

x，

x﹣x＝25，

由题意得，CE﹣BE＝BC，即解得，x＝（25则AB＝25（

+1），

+1）≈68.3，

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答：A，B之间的距离为68.3海里．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．

20．（12分）已知Rt△ABC中，AC＝BC＝2．一直角的顶点P在AB上滑动，直角的两边分别交线段AC，BC于E．F两点 （1）如图1，当（2）如图2，当

＝且PE⊥AC时，求证：

＝；

＝1时（1）的结论是否仍然成立？为什么？

（3）在（2）的条件下，将直角∠EPF绕点P旋转，设∠BPF＝α（0°＜α＜90°）．连结EF，当△CEF的周长等于2+

时，请直接写出α的度数．

【分析】（1）如图1，易证△AEP∽△PFB，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）连接CP，如图2，易证△APE≌△CPF，从而得到PE＝PF，故（1）的结论不成立； （3）在（2）的条件下可得AE＝CF，由此可得EC+CF＝2，EF＝

，设CF＝x，在Rt△CEF中

，

运用勾股定理可求出CF的值．由于CF的值有两个，需分以下两种情况讨论：①若CF＝

FH，如图3，过点P作PH⊥BC于H，先求出PH、然后在Rt△PHF中运用三角函数可求出∠FPH的度数，由此可求出α的值；②若CF＝∠APE度数，由此可求出α的值．

，如图4，过点P作PG⊥AC于G，同理可求出

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【解答】解：（1）如图1，

∵PE⊥AC，

∴∠AEP＝∠PEC＝90°． 又∵∠EPF＝∠ACB＝90°， ∴四边形PECF为矩形， ∴∠PFC＝90°， ∴∠PFB＝90°， ∴∠AEP＝∠PFB． ∵AC＝BC，∠C＝90°， ∴∠A＝∠B＝45°，

∴∠FPB＝∠B＝45°，△AEP∽△PFB， ∴PF＝BF，＝

，

∴＝

＝；

（2）（1）的结论不成立，理由如下： 连接PC，如图2．

∵＝1，

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∴点P是AB的中点． 又∵∠ACB＝90°，CA＝CB，

∴CP＝AP＝AB．∠ACP＝∠BCP＝∠ACB＝45°，CP⊥AB， ∴∠APE+∠CPE＝90°． ∵∠CPF+∠CPE＝90°， ∴∠APE＝∠CPF． 在△APE和△CPF中，

，

∴△APE≌△CPF， ∴AE＝CF，PE＝PF． 故（1）中的结论

（3）当△CEF的周长等于2+

时，α的度数为75°或15°．

＝不成立；

提示：在（2）的条件下，可得AE＝CF（已证）， ∴EC+CF＝EC+AE＝AC＝2． ∵EC+CF+EF＝2+∴EF＝

．

，

设CF＝x，则有CE＝2﹣x，

在Rt△CEF中，根据勾股定理可得x2+（2﹣x）2＝（整理得：3x2﹣6x+2＝0， 解得：x1＝①若CF＝

，x2＝，如图3，

．

）2，

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四川省成都七中育才学校2018-2019学年九年级（上）第七周周测数学试卷（解析版）

过点P作PH⊥BC于H， 易得PH＝HB＝CH＝1，FH＝1﹣在Rt△PHF中，tan∠FPH＝∴∠FPH＝30°，

∴α＝∠FPB＝30+45°＝75°； ②若CF＝

，如图4，

＝

＝，

，

过点P作PG⊥AC于G， 同理可得：∠APE＝75°，

∴α＝∠FPB＝180°﹣∠APE﹣∠EPF＝15°．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，有一定的综合性，得到EC+CF＝2是解决第（3）小题的关键． B卷

21．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD＝ ．

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【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解． 【解答】解：延长AD和BC交于点E． ∵在直角△ABE中，tanA＝∴BE＝4，

∴EC＝BE﹣BC＝4﹣2＝2，

∵△ABE和△CDE中，∠B＝∠EDC＝90°，∠E＝∠E， ∴∠DCE＝∠A，

∴直角△CDE中，tan∠DCE＝tanA＝∴设DE＝4x，则DC＝3x， 在直角△CDE中，EC2＝DE2+DC2， ∴4＝16x2+9x2， 解得：x＝， 则CD＝． 故答案是：．

＝，

＝，AB＝3，

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．

22．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，F为DE中点，若点D在直线BC上运动，连接CF，则在点D运动过程中，线段CF的最小值是 4 ．

【分析】连接CE，根据∠DCE＝90°，F是DE的中点，可得CF＝DE，再根据当AD⊥BC时，

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AD最短，此时DE最短，根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质，求得DE的最小值，即可得出CF的最小值． 【解答】解：如图，连接CE，

∵△ABC∽△ADE， ∴∠ACD＝∠AEG， 又∵∠AGE＝∠DGC， ∴△AGE∽△DGC， ∴

＝

，

又∵∠AGD＝∠EGC， ∴△AGD∽△EGC， ∴∠ADG＝∠ECG，

又∵Rt△ADE中，∠ADG+∠AEG＝90°， ∴∠ECG+∠ACD＝90°，即∠DCE＝90°， ∵F是DE的中点， ∴CF＝DE， ∵△ABC∽△ADE，

∴当AD⊥BC时，AD最短，此时DE最短， 当AD⊥BC时，AD＝∵

＝

，即

＝

，

＝4.8，

∴DE＝8， ∴CF＝×8＝4． 故答案为：4．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及直角三角形斜边上中线的性质的应用，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．解决问题的关键是利用垂线段最短

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得到线段的最小值．

23．（12分）在平面直角坐标系中，BC∥OA，BC＝3，OA＝6，AB＝3（1）直接写出点B的坐标；

（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2BE，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式；

（3）在（2）的条件下，点M是直线DE上的一点，在x轴上方是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）过B作BG⊥OA于点G，在Rt△ABG中，利用勾股定理可求得BG的长，则可求得B点坐标；

（2）由条件可求得E点坐标，利用待定系数法可求得直线DE的解析式；

（3）当OD为边时，则MO＝OD＝5或MD＝OD＝5，可求得M点坐标，由MN∥OD，且MN＝OD可求得N点坐标；当OD为对角线时，则MN垂直平分OD，则可求得M、N的纵坐标，则可求得M的坐标，利用对称性可求得N点坐标． 【解答】解：

（1）如图1，过B作BG⊥OA于点G，

∵BC＝3，OA＝6，

∴AG＝OA﹣OG＝OA﹣BC＝6﹣3＝3，

在Rt△ABG中，由勾股定理可得AB2＝AG2+BG2，即（3∴OC＝6，

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）2＝32+BG2，解得BG＝6，

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∴B（3，6）；

（2）由OD＝5可知D（0，5）， ∵B（3，6），OE＝2BE， ∴E（2，4），

设直线DE的解析式是y＝kx+b 把D（0，5）E（2，4）代入得

，

∴直线DE的解析式是y＝﹣x+5；

（3）当OD为菱形的边时，则MN＝OD＝5，且MN∥OD， ∵M在直线DE上， ∴设M（t，﹣ t+5），

①当点N在点M上方时，如图2，则有OM＝MN，

∵OM2＝t2+（﹣t+5）2，

∴t2+（﹣t+5）2＝52，解得t＝0或t＝4， 当t＝0时，M与D重合，舍去， ∴M（4，3）， ∴N（4，8）；

②当点N在点M下方时，如图3，则有MD＝OD＝5， ∴t2+（﹣t+5﹣5）2＝52，解得t＝2当t＝2∴M（﹣2∴N（﹣2

或t＝﹣2

，

时，N点在x轴下方，不符合题意，舍去， ，，

+5）， ）；

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当OD为对角线时，则MN垂直平分OD， ∴点M在直线y＝2.5上，

在y＝﹣x+5中，令y＝2.5可得x＝5， ∴M（5，2.5）， ∵M、N关于y轴对称， ∴N（﹣5，2.5），

综上可知存在满足条件的点N，其坐标为（4，8）或（﹣5，2.5）或（﹣2

，

）．

【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及勾股定理、待定系数法、菱形的性质、分类讨论及方程思想．在（2）中求得E点坐标是解题的关键，在（3）中求得M点的坐标是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．

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