(2)?字母题?比?数字题?更容易接受有趣的检验(见第14节)。作为另 外一个例子，我们考虑底为正方形的棱台。设下底边长为a，上底边长为b，高
为h，则其体积为
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(a+ab+b)h/3 我们可用?特殊化?一节所讲的方法检验这结果。事实上，若a=b，则棱 台成为棱柱，公式成为ah；若b=O，则棱台成为角锥体，公式成为ah/3。我们 还可用?量纲检验法?。事实上，公式的量纲是长度的立方。还有，我们可用 数据的变化来检验公式；事实上，若正数值a，b或h中的任一个增大，则公式的 数值也增大。
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这类检验不仅可用于最后结果，也可用于中间结果。它们是如此有用，值 得讨论，参见?问题的变化?这一节第(4)点。为了能利用这种检验，我们可能 发现把?数字题?加以普遍化并变为?字母题?是有好处的，参见?普遍化? 这一节第(3)点。
(3)你能检验这论证吗?在逐步检验论证时，我们应当避免单纯的重复。首 先，单纯的重复容易令人厌烦，缺乏启发性，使人注意力涣散。其次，在我们 曾经跌过一次跤的地方，如果环境与从前一样，我们可能再次跌跤。如果我们 感到需要把整个论证重新逐步检查一遍，我们至少应当改变各步的次序，或者 改变它们的分组，以引入某些变化。
(4)排出论证中最薄弱的环节并首先加以审查，这只需要较少的劳力，而 且更有兴趣。在挑出论证中值得审查之点时，一个很有用的问题是：你曾否利 用了所有的数据?
(5)很清楚，我们非数学方面的知识不能完全奠基在形式逻辑的证明上。 我们日常知识的较可靠的部分是不断被我们每天的经验所检验，所加强的。在 自然科学中，这种检验采取了细心试验与测量的形式，并与数学论证结合在一 起。我们的数学知识能否只以形式逻辑的证明为基础呢?
这是个哲学问题。我们不能在这里辩论。但肯定的是，你的数学知识，我 的数学知识，或者你的学生的数学知识，都不是仅仅以形式逻辑证明为基础的。 任何可靠的知识，必有深厚的实验基础，而且通过每个已成功地检验其结果的 问题使这种基础更加坚实。
7．你能用不同方式导出这一结果吗?
当最终所得结果冗长而复杂时，我们自然揣测存在着某个更清楚而且少迂 迥的解：你能用不同方式导出这一结果吗?你能一下子看出它吗?即使我们成功 地找出一个令人满意的解，我们可能仍然对找出另一个解感兴趣。就象我们期 望通过两种不同的知觉去感觉到一个物体一样，我们也期望用不同的推导方法 去取得对理论结果的有效性的信心。就象我们看到一个物体后还想摸摸它一样， 在有了一个证明后，我们希望找到另一个证明。
两个证明比一个好。?抛两个锚更安全?。
(1)例子。求正圆台的侧面积S，已知它的下底的半径 R，上底半径r和高h。
这个问题可用各种方法求解。例如，我们可能知道整个圆锥的侧面积的公式。 由于圆台是从圆锥切去一个较小的圆锥而得到的，所以它的侧面积是两个圆锥 侧面积之差；于是剩下要做就是把它用R，r，h来表示。把这个思路付诸实现， 我们最后就得到公式
S=π(R+r) (R ? r) 2 ? h 2
在用这种或那种方法求得这结果以后，经过较长的演算后，我们可能希望有一 个更为清楚并且较少迂迥的论证。你能用不同方式导出这结果吗?你能一下子看 出它吗?
为了能直观地看出整个结果，我们可以从尝试看出其各个部分的几何意义 开始。这样，我们可能看出
(R ? r) 2 ? h 2
是斜高的长度(圆锥可看作是由一个等腰梯形绕平行两边中点连线旋转而成的， 斜高是该等腰梯形的腰；见图12)。此外，我们还可能发现
π(R+r)=(2πR+2πr)/2
是圆台两底周长的算术平均值。注意公式的这同一部分也可改写为
π(R+r)=2π(R+r)/2 这就是圆台的中截面之周长(这里，我们称平行于圆台上
底和下底并等分其高的 平面与圆台的交为中截面)。
在找到各部分的新解释以后，我们现在可以从不同角度来看整个公式。于 是，我们可以这样读它：
侧面积=中截面周长〓斜高
这里，我们可能回忆坦梯形面积的公式
面积=中线〓高
图12
(此中线平行于梯形的两个平行边并等分其高)。只要直观地看到圆台侧面 积和梯形面积这两种陈述间的类比关系，我们就可以?几乎一下子?看出圆台 的整个结果。这就是说，对于以上经过冗长计算所得到的结果，我们现在感到 非常接近于它的一个简短而直接的证明了。
(2)上面的例子是典型的。我们不完全满足于我们所导出的结果，而希望 去改进它，改变它。因此，我们研究这个结果，尝试去更好地理解它，尝试看 出它的某个新侧面。我们可能对于结果的某一小部分首先成功地观察出一个新 的解释。然后，我们可能相当幸运地发现观察其他部分的新方式。
一个接一个地，审查各个部分，尝试用各种方式去考虑它们，我们可能终
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