于能从不同角度看出整个结果，而我们关于结果的新概念可能给出一个新证明。
人们可能认为，这种现象对于处理某个高级问题的有经验的数学家要比那 些解决某个初等问题的初学者更有可能发生。可是，具有大量数学知识的数学 家比初学者更容易冒滥用知识而使论证不必要地复杂起来的危险。但作为补偿 的是，有经验的数学家比初学者更能重视结果中细微部分的重新解释，并且能 把它们积聚起来，最终重新写出整个结果。
不过，即使在低年级，学生也可能提出一个不必要那么复杂的解。于是， 教师至少一次或者两次指出下列各点，他不但应该指出如何更简捷地解题，而 且也应该指出如何找出存在于结果本身的更简短解答的线索。
参见?归谬法与间接证明?一节。
8．你能利用这个结果吗?
借助于自己的方法来找出问题的解是发明创造。如果问题不太难，这发明 创造也不大，但无论如何它毕竟还是发明创造。有了某个发明创造，尽管不大， 我们也应该探索它后面是否有更多的东西。我们不应该错过由这新结果所开创 的可能性，我们应该再尝试使用一次我们已经使用过的方法。要利用你的成功! 对某个别的问题，你能利用这个结果或方法吗?
(1)如果我们对变化一个问题的主要方法，如?普遍化?，?特殊化?，?类 比?，?分解和再组合?比较熟悉的话，我们就很容易想出一个新问题。我们 从所提出的问题出发，用刚才提到的那些方法由它导出其他问题，从这些问题 再导出别的问题，如此等等。从理论上说，这一过程是无限的，但在实际中， 我们很少进行得很长，因为这样所得到的问题容易成为棘手的问题。
另一方面，我们可以构造出新问题，这些新问题我们很容易利用以前所解 决的问题加以解决，但这些易解的新问题又容易显得索然无味。
找出一个既有趣又好下手的新问题并不那么容易，这需要经验、鉴别能力 和好运气。但是，当我们成功地解决了一个好问题以后，我们应当去寻拔更多 的好问题。好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长。找到一个以后， 你应当在周围找找；很可能在附近就有几个。
(2)我们打算用第8，1O，12，14，15节中讨论过的同一个例子来阐明上述 论点。所以，我们从下列问题开始：
已知长方体的长、宽、高，求外接圆的直径。
棱锥体的底面是一长方形，其中心为棱锥体的高的足。已知棱锥体的高及 其底面的各边，求各侧棱。 已知空间中两点的直角坐标(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)，
求此两点的距离。 我们容易解决这些问题，因为它们和已知其解的原问题相
差不多。在每一
情况中，我们都对原问题加些新概念，如外接圆，棱锥体，直角坐标。这些概 念容易加进去，也容易去掉，并且当去掉它们之后，我们又回到了我们原来的 问题。
由于我们引入原问题的概念是有趣的，所以上述问题也有一定的趣味。最 后一个问题，即由两点的坐标确定其距离尤其重要，这是由于直角坐标很重要 的缘故。
(3)如果我们已知原问题的解，这里还有另外一个我们很容易解决的问题： 已知长方体的长、宽和对角线，求其高。
事实上，我们原问题的解主要在于：为四个量(即长方体的长、宽，高和 对角线)建立一个关系式。如果这四个量中的任意三个为已知，则我们可以由这 关系式求出第四个。于是新问题可解。
对于从已有解的问题导出易解的新问题，这里有个模式；我们设原来未知 数为已知，并将原来的已知数之一作为未知数。在这新、老两个问题中，联系 已知数与未知数的关系式相同。在一个问题中找出关系式，我们即可把它用于 求解另一个问题。
这个通过变换数据的地位以导出新问题的模式和第(2)点中的模式迥然不 同。
(4)我们现在用其他的办法导出某些新问题。
对我们的原问题很自然地使之普遍化，就得到下列新问题：已知一个平行 六面体从对角线一个端点出发的三条棱以及三棱间的三个夹角，求平行六面体 的对角线。
用特殊化的办法，我们得到下列问题：已知正方体的棱长，求它的对角线。 用?类比?的办法，我们可得无数多的各种各样变型的问题。下面几个是 从第(2)点中所考虑的问题导出来的： 已知正
八面体的棱，求它的对角线。 已知正四面体的棱，求外接球的半径。
已知地球(假定为球体)表面上两点的几何坐标(经度和纬度)，求两点间的 球面距离。
所有上述问题都很有趣，但是只有用?特殊化?办法所得到的那个问题， 才能直接在原问题的解的基础上求出它的解。
(5)我们可以把原问题的某些元素看成变量，用这个办法从原问题导出新 问题。
第(2)点所述问题的一个特例是：已知正方体的棱，求它的外接球的半径。 让我们把正方体和正方体与球的公共中心看成是固定不变的，但是可以改变球 的半
径。如果球的半径很小，则球在正方体内，随着半径的增大，此球胀大(就
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